Formel för första gradens ekvationer, hur man löser dem, exempel övningar

De första grad eller linjära ekvationer med en okänd är de som kan uttryckas som summan av två termer, enligt följande:

ax + b = 0

Var a och b, med till ≠ 0, är ​​reella tal R eller också komplexa C. För att lösa det transponeras termer, vilket innebär att man ändrar termer från ena sidan av jämställdheten till den andra.

För att lösa det okända transponeras termen + b, som måste gå till höger om jämlikheten med ändrat tecken.

ax = -b

Då rensas värdet på x så här:

x = - b / a

Som ett exempel ska vi lösa följande ekvation:

6x - 5 = 4

Vi transponerar -5-termen till höger med ett ändrat tecken:

6x = 4 + 5

Detta motsvarar att lägga till 5 på båda sidor av den ursprungliga ekvationen:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

Och nu löser vi det okända "x":

x = 9/6 = 3/2

Vilket motsvarar att dela båda sidor av jämställdheten med 6. Så vi kan använda följande för att få lösningen:

-Samma kvantitet kan adderas eller subtraheras från båda sidor av jämställdheten i en ekvation utan att ändra den.

-Du kan också multiplicera (eller dela) med samma mängd alla termer både till vänster och till höger om ekvationen.

-Och om båda medlemmarna i en ekvation höjs till samma makt ändras inte heller jämställdheten.

Artikelindex

• 1 Hur man löser första grads ekvationer
  • 1.1 Grafisk tolkning
• 2 Exempel på enkla linjära ekvationer   
  • 2.1 Heltalsekvationer
  • 2.2 Bråkekvationer
  • 2.3 Bokstavsekvationer
  • 2.4 System av första grads ekvationer 
  • 2.5 Linjära ekvationer med absolut värde
• 3 enkla lösta övningar
  • 3.1 - Övning 1
  • 3.2 - Övning 2
  • 3.3 - Övning 3
• 4 Referenser

Hur man löser förstegradsekvationer

Lösningen av en ekvation av första graden är också känd som dess rot. Det är värdet på x som omvandlar det ursprungliga uttrycket till en jämlikhet. Till exempel i:

5x = 8x - 15

Om vi ​​ersätter x = 5 i denna ekvation får vi:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40 - 15

25 = 25

Eftersom linjära ekvationer av den första graden finns i många former, som ibland inte är uppenbara, finns det en serie allmänna regler som inkluderar olika algebraiska manipulationer för att hitta värdet av det okända:

-Först och främst, om det finns angivna operationer, bör de utföras.

-Grupperingssymboler som parenteser, hakparenteser och parenteser, om sådana finns, bör tas bort och behålla lämpliga tecken.

-Villkoren transponeras för att placera alla de som innehåller det okända på ena sidan av jämställdheten och de som inte innehåller det på den andra.

-Då reduceras alla liknande villkor för att komma fram till formuläret ax = -b.

-Och det sista steget är att rensa det okända.

Grafisk tolkning

Den första gradens ekvation som höjdes i början kan härledas från ekvationen för linjen y = mx + c, vilket gör y = 0. Det resulterande värdet på x motsvarar skärningspunkten mellan linjen och den horisontella axeln.

I följande bild finns det tre rader. Börjar med den gröna linjen, vars ekvation är:

y = 2x - 6

Att göra y = 0 i linjens ekvation erhålls första gradens ekvation:

2x - 6 = 0

Vars lösning är x = 6/2 = 3. Nu när vi detaljerar grafen är det lätt att inse att linjen i själva verket skär den horisontella axeln vid x = 3.

Den blå linjen skär x-axeln vid x = 5, vilket är lösningen på ekvationen -x + 5 = 0. Slutligen skär linjen vars ekvation är y = 0,5x + 2 x-axeln vid x = - 4 , som lätt syns från ekvationen för den första graden:

0,5 x + 2 = 0

x = 2 / 0,5 = 4

Exempel på enkla linjära ekvationer   

Heltalsekvationer

Det är de i vilka termer det inte finns några nämnare, till exempel:

21 - 6x = 27 - 8x

Din lösning är:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Bråkekvationer

Dessa ekvationer innehåller minst en annan nämnare än 1. För att lösa dem är det tillrådligt att multiplicera alla termer med den minst gemensamma multipeln (LCM) av nämnarna, för att eliminera dem.

Följande ekvation är fraktionerad typ:

Eftersom dessa siffror är små är det inte svårt att se att m.c.m (6, 8,12) = 24. Detta resultat uppnås lätt genom att uttrycka siffrorna som en produkt av primtal eller deras krafter, låt oss se:

6 = 3,2

8 = 2³

12 = 2^två⋅3

Den minst vanliga multipeln bestäms genom att multiplicera de gemensamma och ovanliga faktorerna 6, 8 och 12 med sin största exponent, sedan:

lcm (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Eftersom vi har den minst gemensamma multipeln måste den multipliceras med var och en av ekvationen:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Vi använder distributionen:

4x + 20 - 6x -9 = 2-10x

Alla termer som innehåller det okända "x" är grupperade på vänster sida av jämställdheten och lämnar de oberoende eller numeriska termerna på höger sida:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Bokstavliga ekvationer

De är linjära ekvationer med en okänd, som dock åtföljs av bokstavliga koefficienter (bokstäver). Dessa bokstäver behandlas på samma sätt som siffror. Ett exempel på en bokstavlig första grads ekvation är:

-3ax + 2a = 5x - b

Denna ekvation löses på samma sätt som om de oberoende termerna och koefficienterna var numeriska:

-3ax - 5x = - b - 2a

Faktorisering av det okända "x":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = (- b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

System av ekvationer av första graden 

System med ekvationer består av en serie ekvationer med två eller flera okända. Systemets lösning består av värden som uppfyller ekvationerna samtidigt och för att bestämma det otvetydigt måste det finnas en ekvation för varje okänd.

Den allmänna formen av ett system av m linjära ekvationer med n okända är:

till_elvax₁ + till₁₂x_två +... till_1nx_n = b₁
till_tjugoettx₁ + till₂₂x_två +... till_2nx_n = b_två
...
till_m1x₁ + till_m2x_två +... till_mnx_n = b_m

Om systemet har en lösning sägs det vara kompatibel bestämd, när det finns en oändlig uppsättning värden som uppfyller det obestämd kompatibel, och slutligen om det inte har någon lösning så är det oförenlig.

Vid lösning av system med linjära ekvationer används flera metoder: reduktion, substitution, utjämning, grafiska metoder, Gauss-Jordaniens eliminering och användning av determinanter är bland de mest använda. Men det finns andra algoritmer för att nå lösningen, bekvämare för system med många ekvationer och okända.

Ett exempel på ett system av linjära ekvationer med två okända är:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

Lösningen för detta system presenteras senare i avsnittet om lösta övningar..

Linjära ekvationer med absolut värde

Det absoluta värdet för ett reellt tal är avståndet mellan dess läge på nummerraden och 0 på nummerraden. Eftersom det är ett avstånd är dess värde alltid positivt.

Det absoluta värdet för ett tal betecknas med modulstaplarna: │x│. Det absoluta värdet av ett positivt eller negativt tal är alltid positivt, till exempel:

│ + 8│ = 8

│-3│ = 3

I en absolutvärdesekvation är det okända mellan modulstaplar. Låt oss överväga följande enkla ekvation:

│x│ = 10

Det finns två möjligheter, den första är att x är ett positivt tal, i vilket fall vi har:

x = 10

Och den andra möjligheten är att x är ett negativt tal, i detta fall:

x = -10

Det här är lösningarna i denna ekvation. Låt oss nu titta på ett annat exempel:

│x + 6│ = 11

Mängden inuti staplarna kan vara positiv, så:

x + 6 = 11

x = 11 -6 = 5

Eller så kan det vara negativt. Isåfall:

-(x + 6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

Och värdet av det okända är:

x = -17

Denna absoluta värdeekvation har därför två lösningar: x₁ = 5 och x_två = -17. Vi kan kontrollera att båda lösningarna leder till en jämlikhet i den ursprungliga ekvationen:

│5 + 6│ = 11

│11│ = 11

Y

│-17 + 6│ = 11

│-11│ = 11

Enkla lösta övningar

- Övning 1

Lös följande system med linjära ekvationer med två okända:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Lösning

Som det föreslås är detta system idealiskt för att använda substitutionsmetoden, eftersom i den andra ekvationen det okända x är nästan klar för godkännande:

x = (3y + 6) / 6

Och det kan omedelbart ersättas med den första ekvationen, som sedan blir en första gradens ekvation med okänt "y":

8 [(3y + 6) / 6] - 5 = 7y - 9

Nämnaren kan tas bort genom att multiplicera varje term med 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] - 6,5 = 6,77-6. 9

8⋅ (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Att tillämpa den fördelande egendomen under första terminen på rätten till jämlikhet:

24y + 48-30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

Ekvationen kan förenklas, eftersom alla koefficienter är multiplar av 6:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Med detta resultat går vi till rensningen av x:

x = (3y +6) / 6 → x = (12 + 6) / 6 = 3

- Övning 2

Lös följande ekvation:

Lösning

Produkter visas i denna ekvation, och enligt instruktionerna i början måste de utvecklas först:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Sedan tas alla termer som innehåller okända till vänster sida av jämställdheten, och till höger är de oberoende termerna:

3x - 10x - 5x - 36x = 12-14

-48x = -2

x = 1/24

- Övning 3

Att lägga till de tre inre vinklarna i en triangel ger 180º. Majoren överstiger den mindre med 35 °, och den senare i sin tur överstiger 20 ° skillnaden mellan dur och medium. Vad är vinklarna??

Lösning

Vi kommer att kalla “x” den större vinkeln, “y” den mellersta och “z” den minsta. När uttalandet bekräftar att summan av dem är 180º kan det skrivas:

x + y + z = 180

Då vet vi att ju större överstiger mindre med 35º, kan vi skriva detta så här:

x = z + 35

Slutligen överskrider den minsta skillnaden mellan den största och mitten med 20º:

z = x - y + 20

Vi har ett system med 3 ekvationer och 3 okända:

x + y + z = 180

x = z + 35

z = x - y + 20

Lösa för z från den första ekvationen vi har:

z = 180 - x - y

Matchar med det tredje:

180 - x - y = x - y + 20

Att passera okända till vänster som alltid:

-x - y - x + y = 20 - 180

"Y" avbryts och förblir:

-2x = - 160

x = 80º

Från den andra ekvationen hittar vi värdet på z:

z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

Och värdet på y hittas från första eller tredje:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Referenser

1. Baldor. 1977. Elementär algebra. Venezuelas kulturutgåvor.
2. Monterey Institute. Ekvationer, ojämlikheter och absolut värde. Återställd från: montereyinstitute.org.
3. Online lärare. Klassificering av linjära eller första grads ekvationer. Återställd från: profesorenlinea.cl.
4. Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volym 2.
5. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hall.
6. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. Mcgraw hill.