De polynomekvationer De är ett uttalande som höjer likheten mellan två uttryck eller medlemmar, där åtminstone ett av termerna som utgör vardera sidan av jämställdheten är polynom P (x). Dessa ekvationer namnges efter graden av deras variabler.
I allmänhet är en ekvation ett uttalande som fastställer likheten mellan två uttryck, där i minst en av dessa finns okända storheter, som kallas variabler eller okända. Även om det finns många typer av ekvationer klassificeras de i allmänhet i två typer: algebraisk och transcendental..
Polynomekvationer innehåller endast algebraiska uttryck, som kan ha en eller flera okända inblandade i ekvationen. Enligt den exponent (grad) de har kan de klassificeras i: första grad (linjär), andra grad (kvadratisk), tredje grad (kubik), fjärde grad (kvartik), grad större än eller lika med fem och irrationell.
Artikelindex
Polynomekvationer är uttryck som bildas av en jämlikhet mellan två polynomer; det vill säga med de slutliga summorna av multiplikationer mellan värden som är okända (variabler) och fasta tal (koefficienter), där variablerna kan ha exponenter, och deras värde kan vara ett positivt heltal, inklusive noll.
Exponenterna bestämmer graden eller typen av ekvation. Termen för det uttryck som har det högsta värdet exponent representerar den absoluta graden av polynomet.
Polynomekvationer är också kända som algebraiska, deras koefficienter kan vara reella eller komplexa tal och variablerna är okända tal representerade av en bokstav, såsom: "x".
Om ett värde ersätts med variabeln "x" i P (x) är resultatet lika med noll (0), då sägs det värdet tillfredsställa ekvationen (det är en lösning) och kallas vanligtvis roten till polynomet.
När du utvecklar en polynomekvation vill du hitta alla rötter eller lösningar.
Det finns flera typer av polynomekvationer, som är differentierade beroende på antalet variabler, och också beroende på graden av deras exponent.
Således kan polynomekvationerna - där dess första term är en polynom som har en enda okänd, med tanke på att dess grad kan vara vilket naturligt tal som helst (n) och den andra termen är noll-, kan uttryckas enligt följande:
tilln * xn + tilln-1 * xn-1 +... + A1 * x1 + till0 * x0 = 0
Var:
- tilln, tilln-1 redan0, är verkliga koefficienter (tal).
- tilln skiljer sig från noll.
- Exponenten n är ett positivt heltal som representerar ekvationsgraden.
- x är den variabel eller okänd som ska sökas.
Den absoluta eller större graden av en polynomekvation är exponenten med det högsta värdet bland alla de som bildar polynom; sålunda klassificeras ekvationerna som:
Första gradens polynomekvationer, även kända som linjära ekvationer, är de där graden (den största exponenten) är lika med 1, polynomet har formen P (x) = 0; och den består av en linjär term och en oberoende. Den är skriven enligt följande:
ax + b = 0.
Var:
- a och b är reella tal och a ≠ 0.
- ax är den linjära termen.
- b är den oberoende termen.
Till exempel är ekvationen 13x - 18 = 4x.
För att lösa linjära ekvationer måste alla termer som innehåller det okända x skickas till ena sidan av jämställdheten, och de som inte har de flyttar till den andra sidan för att lösa det och få en lösning:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Således har den givna ekvationen bara en lösning eller rot, som är x = 2.
Andra gradens polynomekvationer, även kända som kvadratiska ekvationer, är de där graden (den största exponenten) är lika med 2, polynomet har formen P (x) = 0 och består av en kvadratisk term, en linjär och en oberoende. Det uttrycks på följande sätt:
yxatvå + bx + c = 0.
Var:
- a, b och c är reella tal och a ≠ 0.
- yxatvå är den kvadratiska termen, och "a" är den kvadratiska termens koefficient.
- bx är den linjära termen och "b" är koefficienten för den linjära termen.
- c är den oberoende termen.
Generellt ges lösningen på denna typ av ekvationer genom att lösa x från ekvationen, och den är som följer, vilket kallas resolvent:
Där, (btvå - 4ac) kallas ekvationens diskriminant och detta uttryck bestämmer antalet lösningar som ekvationen kan ha:
- Ja Btvå - 4ac) = 0, ekvationen kommer att ha en enda lösning som är dubbel; det vill säga den kommer att ha två lika stora lösningar.
- Ja Btvå - 4ac)> 0 kommer ekvationen att ha två olika verkliga lösningar.
- Ja Btvå - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).
Till exempel har vi ekvationen 4xtvå + 10x - 6 = 0, för att lösa det identifierar du först termerna a, b och c och ersätter det sedan med formeln:
a = 4
b = 10
c = -6.
Det finns fall där andra grads polynomekvationer inte har alla tre termer, och det är därför de löses på ett annat sätt:
- Om kvadratiske ekvationer inte har den linjära termen (det vill säga b = 0) kommer ekvationen att uttryckas som axtvå + c = 0. För att lösa det, lösa för xtvå och kvadratrötterna appliceras på varje medlem, kom ihåg att de två möjliga tecknen som det okända kan ha måste beaktas:
yxatvå + c = 0.
xtvå = - c ÷ a
Till exempel 5 xtvå - 20 = 0.
5 xtvå = 20
xtvå = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x1 = 2.
xtvå = -2.
- När den kvadratiska ekvationen inte har en oberoende term (det vill säga c = 0) kommer ekvationen att uttryckas som axtvå + bx = 0. För att lösa det måste vi ta den gemensamma faktorn för det okända x i den första medlemmen; Eftersom ekvationen är lika med noll är det sant att minst en av faktorerna kommer att vara lika med 0:
yxatvå + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Således måste du:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Till exempel: vi har ekvationen 5xtvå + 30x = 0. Första faktorn:
5xtvå + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Två faktorer genereras som är x och (5x + 30). Det anses att en av dessa kommer att vara lika med noll och den andra ges en lösning:
x1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
xtvå = -6.
Polynomekvationer av högre grad är de som går från tredje graden och framåt, vilka kan uttryckas eller lösas med den allmänna polynomekvationen för vilken grad som helst:
tilln * xn + tilln-1 * xn-1 +... + A1 * x1 + till0 * x0 = 0
Detta används för att en ekvation med en grad som är större än två är resultatet av att ta med ett polynom; det vill säga det uttrycks som multiplicering av polynomer av grad en eller större, men utan verkliga rötter.
Lösningen för denna typ av ekvationer är direkt, eftersom multiplikationen av två faktorer kommer att vara lika med noll om någon av faktorerna är noll (0); Därför måste var och en av de polynomekvationer som hittas lösas, varvid varje faktor sätts till noll.
Till exempel har vi den tredje gradens (kubik) ekvation x3 + xtvå +4x + 4 = 0. För att lösa det måste följande steg följas:
- Villkoren är grupperade:
x3 + xtvå +4x + 4 = 0
(x3 + xtvå ) + (4x + 4) = 0.
- Medlemmarna sönderdelas för att få den gemensamma faktorn för det okända:
xtvå (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(xtvå + 4)*(x + 1) = 0.
- På detta sätt erhålls två faktorer som måste vara lika med noll:
(xtvå + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Det kan ses att faktorn (xtvå + 4) = 0 kommer inte att ha en riktig lösning, medan faktorn (x + 1) = 0 kommer att ha. Så lösningen är:
(x + 1) = 0
x = -1.
Lös följande ekvationer:
(2xtvå + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.
I detta fall uttrycks ekvationen som multiplikation av polynom; det vill säga det är fakturerat. För att lösa det måste varje faktor vara lika med noll:
- 2xtvå + 5 = 0, har ingen lösning.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Således har den givna ekvationen två lösningar: x = 3 och x = -1.
x4 - 36 = 0.
Ett polynom gavs, vilket kan skrivas om som en skillnad i rutor för att komma fram till en snabbare lösning. Således är ekvationen:
(xtvå + 6)*(xtvå - 6) = 0.
För att hitta lösningen på ekvationerna sätts båda faktorerna lika med noll:
(xtvå + 6) = 0, har ingen lösning.
(xtvå - 6) = 0
xtvå = 6
x = ± √6.
Således har den ursprungliga ekvationen två lösningar:
x = √6.
x = - √6.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.