De matematiskt hopp eller förväntat värde på slumpvariabel X, betecknas som E (X) och definieras som summan av produkten mellan sannolikheten för en slumpmässig händelse och värdet av nämnda händelse.
I matematisk form uttrycks det enligt följande:
μ = E (X) = ∑ xi. P (xi) = x1.P (x1) + xtvå.P (xtvå) + x3.P (x3) + ...
Där xi är värdet på händelsen och P (xi) dess sannolikhet för förekomst. Summationen sträcker sig över alla värden som X medger. Och om dessa är ändliga konvergerar den angivna summan till värdet E (X), men om summan inte konvergerar har variabeln helt enkelt inget förväntat värde.
När det gäller en kontinuerlig variabel x, variabeln kan ha oändliga värden och integralerna ersätter summeringen:
Här representerar f (x) sannolikhetsdensitetsfunktion.
I allmänhet är den matematiska förväntningen (som är ett viktat medelvärde) inte lika med det aritmetiska medelvärdet eller medelvärdet, såvida vi inte har att göra med diskreta fördelningar där varje händelse är lika troligt. Då och först då:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xi
Där n är antalet möjliga värden.
Konceptet är mycket användbart på finansmarknader och försäkringsbolag, där säkerhet ofta saknas men det finns sannolikheter..
Artikelindex
Bland de viktigaste egenskaperna hos matematisk förväntan sticker följande ut:
- Tecken: om X är positivt kommer E (X) också att vara.
- Förväntat värde på en konstant: det förväntade värdet på en verklig konstant k är konstanten.
E (k) = k
- Linjäritet i summan: förväntningen på en slumpmässig variabel som i sin tur är summan av två variabler X och Y är summan av förväntningarna.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplikation med en konstant: om den slumpmässiga variabeln har formen kX, var k är en konstant (ett reellt tal), kommer det utanför det förväntade värdet.
E (kX) = k E (X)
- Förväntat värde på produkten och oberoende mellan variabler: om en slumpmässig variabel är produkten av de slumpmässiga variablerna X och Y, som är oberoende, då är det förväntade värdet av produkten produkten av de förväntade värdena.
E (X.Y) = E (X). E (Y)
- Slumpmässig variabel i formuläret Y = aX + b: hittades genom att använda de tidigare egenskaperna.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
I allmänhet, ja Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xi). P [g (xi)]
- Beställning på förväntat värde: om X ≤ Y, då:
E (X) ≤ E (Y)
Eftersom det finns de förväntade värdena för var och en av dem.
När den berömda astronomen Christian Huygens (1629-1695) inte observerade himlen ägnade han sig åt att bland annat studera sannolikhet i hasardspel. Det var han som introducerade begreppet matematiskt hopp i sitt arbete från 1656 med titeln: Resonerar om spel.
Huygens fann att spel kunde klassificeras på tre sätt, baserat på förväntat värde:
-Fördelar: E (X)> 0
-Rättvisa insatser: E (X) = 0
-Handikappspel: E (X) < 0
Problemet är att den matematiska förväntningen i ett hasardspel inte alltid är lätt att beräkna. Och när du kan är resultatet ibland en besvikelse för dem som undrar om de ska satsa eller inte.
Låt oss prova en enkel satsning: huvuden eller svansen och förloraren betalar 1 $ kaffe. Vad är det förväntade värdet av denna insats?
Tja, sannolikheten för att huvuden rullas är ½, lika med svansar. Den slumpmässiga variabeln är att vinna $ 1 eller förlora $ 1, vinsten betecknas med + tecken och förlust med tecken -.
Vi ordnar informationen i en tabell:
Vi multiplicerar kolumnernas värden: 1. ½ = ½ och (-1). ½ = -½ och slutligen läggs resultaten till. Summan är 0 och det är ett rättvist spel där deltagarna väntas varken vinna eller förlora.
Fransk roulette och lotteri är handikappspel där de flesta spelarna tappar. Senare finns det en något mer komplex insats i avsnittet om lösta övningar.
Här är några enkla exempel där begreppet matematisk förväntan är intuitivt och klargör begreppet:
Vi börjar med att rulla en ärlig form. Vad är det förväntade värdet av lanseringen? Om matrisen är ärlig och har 6 huvuden, är sannolikheten att något värde (X = 1, 2, 3 ... 6) rullar 1/6, så här:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Det förväntade värdet i detta fall är lika med genomsnittet, eftersom varje ansikte har samma sannolikhet att komma ut. Men E (X) är inte ett möjligt värde, eftersom inga huvuden är värda 3,5. Detta är helt möjligt i vissa distributioner, även om resultatet i det här fallet inte hjälper spelaren mycket..
Låt oss se ett annat exempel med kastet av två mynt.
Två ärliga mynt kastas i luften och vi definierar den slumpmässiga variabeln X som antalet huvuden som rullas. De händelser som kan inträffa är följande:
-Inga huvuden kommer upp: 0 huvuden vilket är lika med 2 svansar.
-Returnerar 1 huvud och 1 svans eller svans.
-Två ansikten kommer ut.
Låt C vara ett huvud och T en tätning, provutrymmet som beskriver dessa händelser är som följer:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Ansiktsförsegling; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Sannolikheten för händelserna är:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabellen är byggd med erhållna värden:
Enligt definitionen i början beräknas den matematiska förväntningen som:
μ = E (X) = ∑ xi. P (xi) = x1.P (x1) + xtvå.P (xtvå) + x3.P (x3) + ...
Ersätter värden:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Detta resultat tolkas på följande sätt: om en person har tillräckligt med tid för att göra ett stort antal experiment genom att vända på de två mynten förväntas de få ett huvud på varje vändning..
Vi vet dock att utgåvor med två etiketter är helt möjliga..
I kastet av två ärliga mynt görs följande insats: om 2 huvuden kommer ut, vinner $ 3, om 1 huvud kommer ut, vinner $ 1, men om två stämplar kommer ut, måste $ 5 betalas. Beräkna den förväntade vinsten av insatsen.
Den slumpmässiga variabeln X är de värden som pengarna tar i satsningen och sannolikheterna beräknades i föregående exempel, därför är satsningstabellen:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Eftersom det förväntade värdet är 0 är det rättvist spel, så här förväntas spelaren att inte vinna eller inte förlora heller. Insatsbeloppen kan dock ändras för att göra insatsen till ett handikappspel eller ett handikappspel..
Ingen har kommenterat den här artikeln än.