De inskriven vinkel på en cirkel Det är en som har sin topp på omkretsen och dess strålar är sekant eller tangent till den. Som en konsekvens kommer den inskrivna vinkeln alltid att vara konvex eller platt..
I figur 1 visas flera vinklar inskrivna i deras respektive omkretsar. Vinkeln ∠EDF är inskriven genom att ha dess toppunkt D på omkretsen och dess två strålar [DE) och [DF) skär varandra i omkretsen.
På samma sätt är vinkeln ∠HGI inskriven, eftersom den har sin topp på omkretsen och dess sidor avskilda från den.
Vinklarna ∠KJR och ∠UST är också inskrivna på omkretsen. Den första har en sekant sida och den andra tangenten, medan den andra har sina två sidor tangent till omkretsen och bildar en plan inskriven vinkel (180º).
Vissa författare kallar den halvinskrivna vinkeln att en av dess sidor har en tangent för omkretsen, men i denna artikel anses den vara inskriven..
Varje inskriven vinkel definierar eller undertrycker en båge som är associerad med den. I figur 2 täcker till exempel den inskrivna vinkeln ∠ABC bågen A⌒C med längden d.
Samma bild visar vinkeln ∠DOE, som inte är inskriven i omkretsen eftersom dess topp inte har sin omkrets utan i centrum O.
Artikelindex
Förutom den inskrivna vinkeln, i en omkrets central vinkel, vilken är den vars topp är i centrum av omkretsen och vars sidor skär omkretsen.
Måttet i radianer av en central vinkel är kvoten mellan den nedåtgående bågen, det vill säga bågen för omkretsen mellan sidorna av vinkeln och radien för omkretsen.
Om omkretsen är enhetlig (av radie 1), är längden på bågen i samma radienheter måttet på vinkeln i radianer.
Och när vinkelmåttet i grader krävs, multipliceras måttet i radianer med faktorn 180º / π.
Vinkelmätinstrument använder alltid en central vinkel och bågens längd kalibreras direkt i grader. Detta innebär att när en vinkel mäts, i bakgrunden, vad som mäts är längden på bågen som dämpas av den centrala vinkeln.
Måttet på en inskriven vinkel är halva måttet på den centrala vinkeln, om båda vinklarna täcker samma båge.
I figur 4 visas två vinklar ∠ABC och ∠AOC, som skär samma omkretsbåge A⌒C.
Om måttet på den inskrivna vinkeln är α, är måttet β för den centrala vinkeln dubbelt så stort som det inskrivna vinkeln (β = 2 α) eftersom båda täcker samma måttbåge d.
För att bevisa sats 1 börjar vi med att visa flera specifika fall tills vi når det allmänna fallet.
Antag en inskriven vinkel, i vilken en av dess sidor passerar genom omkretsens centrum, som visas i figur 5.
I detta fall bildas den likbeniga triangeln COB, eftersom [OC] = [OB].
I en likbent triangel är vinklarna intill basen lika, därför är ∠BCO = ∠ABC = α. Å andra sidan ∠COB = 180º - β.
Med tanke på summan av de inre vinklarna i triangeln COB har vi:
α + α + (180º - β) = 180º
Från vilket det följer att 2 α = β, eller vad som är ekvivalent: α = β / 2. Detta sammanfaller med vad sats 1 säger: måttet på den inskrivna vinkeln är halva den centrala vinkeln, om båda vinklarna täcker samma ackord [AC].
I det här fallet har vi en inskriven vinkel ∠ABC, där centrum O för omkretsen ligger inom vinkeln.
För att bevisa sats 1 i detta fall dras hjälpstrålen [BO) så att vi har två inskrivna vinklar ∠ABO och ∠OBC intill nämnda stråle.
På samma sätt har vi de centrala vinklarna β1 och βtvå intill nämnda stråle. På detta sätt har vi samma situation som i bevis 1a, så det kan sägas att αtvå = βtvå / 2 och a1 = β1 /två. Eftersom α = α1 + atvå och β = β1 + βtvå därför följer att α = α1 + atvå = β1 / 2 + ptvå / 2 = (β1 + βtvå) / 2 = P / 2.
Sammanfattningsvis α = β / 2, som uppfyller sats 1.
Om två eller flera inskrivna vinklar täcker samma båge, har de samma mått.
De inskrivna vinklarna som täcker ackord av samma mått är lika.
Visa att den inskrivna vinkeln som täcker diametern är en rät vinkel.
Den centrala vinkeln ∠AOB associerad med diametern är en plan vinkel vars mått är 180º.
Enligt teorem 1 har varje vinkel som är inskriven i omkretsen som täcker samma ackord (i detta fall diametern) som mått hälften av den centrala vinkeln som täcker samma ackord, vilket för vårt exempel är 180º / 2 = 90º.
Linjen (BC) tangent vid A till omkretsen C, bestämmer den inskrivna vinkeln ACBAC (se figur 10).
Kontrollera att satsen 1 för de inskrivna vinklarna är uppfylld.
Vinkeln ∠BAC är inskriven eftersom dess topp är på omkretsen, och dess sidor [AB) och [AC) är tangent till omkretsen, så definitionen av inskriven vinkel är uppfylld.
Å andra sidan undertrycker den inskrivna vinkeln ∠BAC bågen A, A, som är hela omkretsen. Den centrala vinkeln som täcker bågen A⌒A är en konvex vinkel vars mått är full vinkel (360º).
Den inskrivna vinkeln som täcker hela bågen mäter hälften av den tillhörande centrala vinkeln, det vill säga ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Med allt ovanstående är det verifierat att just detta fall uppfyller sats 1.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.