De stående vågor De är vågor som sprider sig i ett begränsat medium, går och kommer i en del av rymden, till skillnad från resande vågor, som vid fortplantning rör sig bort från källan som uppstod dem och inte återvänder till den.
De är basen för de ljud som produceras i musikinstrument, eftersom de lätt uppstår i de fasta strängarna, antingen i ena änden eller båda. De skapas också i täta membran som trummor eller inuti rör och strukturer som broar och byggnader..
När du har en fast sträng i båda ändar, till exempel en gitarr, skapas vågor med identisk amplitud och frekvens, som färdas i motsatta riktningar och kombineras för att producera ett fenomen som kallas interferens.
Om vågorna är i fas inriktas topparna och dalarna och resulterar i en våg med dubbla amplituden. I så fall talar vi om konstruktiv inblandning.
Men om de störande vågorna är ur fas möter topparna på en andras dalar och den resulterande amplituden är noll. Det handlar då om destruktiv inblandning.
Artikelindex
Huvudelementen i vågen som representerar den i rum och tid är dess amplitud A, dess våglängd λ och dess vinkelfrekvens ω.
I den matematiska representationen föredras att använda k, än vågnummer eller hur många gånger vågen inträffar per längdenhet. Det är därför det definieras genom våglängden λ som är avståndet mellan två dalar eller två åsar:
k = 2π / λ
Medan vinkelfrekvens avser perioden eller varaktigheten av en fullständig svängning, såsom:
ω = 2π / T
Och även frekvensen f ges av:
f = ω / 2π
Därför:
f = 1 / T.
Även vågorna rör sig med fart v enligt:
v = λ.f
Matematiskt kan vi uttrycka en våg med sinusfunktionen eller cosinusfunktionen. Antag att vi har vågor med lika amplitud A, våglängd λ och frekvens ω, som sprider sig längs en sträng och i motsatta riktningar:
Y1 = En synd (kx - ωt)
Ytvå = En synd (kx + ωt)
När vi lägger till dem hittar vi den resulterande vågen ochR:
YR = och1 + Ytvå = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
Det finns en trigonometrisk identitet för att hitta summan:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (a - p) / 2
Genom denna identitet, den resulterande vågen yR resterna:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Den resulterande vågen har amplitud A.R = 2Asen kx, vilket beror på partikelns position. Vid de punkter för vilka sin kx = 0 försvinner vågens amplitud, det vill säga det finns ingen vibration.
Dessa punkter är:
kx = π, 2π, 3π ...
Eftersom k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π ...
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
Destruktiv störning inträffar vid sådana punkter och kallas knutpunkter. De är åtskilda av ett avstånd som är lika med λ / 2, som dras av föregående resultat.
Och mellan två på varandra följande noder finns antinoder eller magar, i vilken vågens amplitud är maximal, eftersom konstruktiv störning uppträder där. De uppstår när:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2 ...
Återigen k = 2 π / λ och sedan:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4, ...
Gränsvillkoren i strängen bestämmer hur våglängderna och frekvenserna är. Om en sträng med längden L är fixerad i båda ändarna kan den inte vibrera med någon frekvens, eftersom de punkter där strängen är fixerad redan är noder.
Vidare är separationen mellan angränsande noder λ / 2 och mellan nod och mage är λ / 4, på detta sätt produceras endast för vissa våglängder stationära vågor: de där ett heltal n av λ / 2 passar inom:
(λ / 2) = L, med n = 1, 2, 3, 4 ... .
Därför:
λ = 2L / n
De olika värden som λ tar kallas övertoner. Således har vi:
-Första överton: λ = 2L
-Andra harmoniska: λ = L
-Tredje överton: λ = 2 L / 3
-Fjärde övertonen: λ = L / 2
Och så vidare.
Även om den stående vågen inte verkar röra sig, är ekvationen fortfarande giltig:
v = λ. F
Därför:
v = (2L / n). F
f = nv / 2L
Nu kan det visas att hastigheten med vilken en våg färdas i en sträng beror på spänningen T i den och dess linjära densitet av massa μ (massa per längdenhet) som:
Därför:
-När vågorna är stilla sprids inte den resulterande vågen samma som dess komponenter, som går från ena sidan till den andra. Det finns punkter där y = 0 eftersom det inte finns någon vibration: noderna, med andra ord, amplituden A.R det blir noll.
-Det matematiska uttrycket för en stående våg består av produkten från en rumslig del (som beror på x-koordinaten eller den geografiska koordinaten) och en tidsdel.
-Mellan noderna svänger den resulterande svarta vågen på ett ställe, medan vågorna som går från ena sidan till den andra är ur fas där..
-Energi transporteras inte direkt vid noderna, eftersom detta är proportionellt mot amplituden, men den är instängd mellan noderna.
-Avståndet mellan angränsande noder är halva våglängden.
-De punkter där ackordet är fixat anses också vara noder..
Vågorna i en fast sträng är exempel på stående vågor i en dimension, vars matematiska beskrivning vi erbjöd i föregående avsnitt..
Stående vågor kan också presenteras i två och tre dimensioner, deras matematiska beskrivning är lite mer komplex.
-Ett rep fäst i ena änden som är oscillerat för hand eller med en kolv å andra sidan genererar stående vågor längs dess längd.
-Att spela stränginstrument som gitarr, harpa, fiol och piano skapar också stående vågor, eftersom de har strängar anpassade till olika spänningar och fixerade i båda ändar.
Stående vågor skapas också i rör med luft, såsom orgelrör..
Stående vågor uppstår i strukturer som broar och byggnader. Ett anmärkningsvärt fall var Tacoma Narrows-hängbroen nära staden Seattle, USA. Strax efter att ha invigts 1940 kollapsade denna bro på grund av de stående vågorna som skapades inuti av vinden..
Vindens frekvens kopplades ihop med broens naturliga frekvens, vilket skapade stående vågor i den, som ökade i amplitud tills bron kollapsade. Fenomenet är känt som resonans.
I hamnar finns det ett mycket märkligt fenomen som kallas seiche, där havets vågor producerar stora svängningar. Detta beror på det faktum att vattnet i hamnen är ganska inneslutet, även om havsvattnet tränger in från gång till gång genom portens ingång..
Hamnvatten rör sig med sin egen frekvens, precis som i havet. Om båda vattnen är lika med deras frekvenser, produceras en stor stående våg genom resonans, som det hände med Tacoma-bron..
De seiches De kan också förekomma i sjöar, reservoarer, simbassänger och andra ytbegränsade vattenmassor..
Stående vågor kan skapas i en akvarium som bärs av en person, om frekvensen med vilken personen går är lika med frekvensen för att vattnet svänger.
En gitarrsträng har L = 0,9 m och en linjär massdensitet μ = 0,005 kg / m. Det utsätts för 72 N spänning och dess vibrationssätt är det som visas i figuren, med amplituden 2A = 0,5 cm.
Hitta:
a) Spridningshastighet
b) Vågfrekvens
c) Motsvarande stående vågekvation.
Genom:
Erhålles;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
Avståndet mellan två intilliggande noder är λ / 2, därför:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = A / 2
λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Eftersom v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
Ekvationen är:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Vi måste ersätta värdena:
k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
Amplituden 2A ges redan av uttalandet:
2A = 0,5 cm = 5 x 10 -3 m.
Därför:
YR = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
Ingen har kommenterat den här artikeln än.