De linjära vågor är de där överlagringsprincipen är tillämplig, det vill säga de där vågformen och dess utveckling av rymdtid kan uppnås som summan av grundläggande lösningar, till exempel av en harmonisk typ. Inte alla vågor överensstämmer med superpositionen, de som inte följer kallas icke-linjära vågor.
Namnet "linjär" kommer från det faktum att linjära vågor alltid uppfyller en differentiell ekvation i partiella derivat, där alla termer som involverar den beroende variabeln eller dess derivat höjs till den första effekten.
Å andra sidan uppfyller icke-linjära vågor vågekvationer som har kvadratiska termer eller högre grader i den beroende variabeln eller i dess derivat.
Linjära vågor förväxlas ibland med längsgående vågor, det vill säga de där vibrationerna sker i samma utbredningsriktning, som ljudvågor.
Men längsgående vågor, såväl som tvärgående vågor, kan i sin tur vara linjära eller icke-linjära, beroende på bland andra faktorer, amplituden för den initiala störningen och mediet i vilket de sprids..
Det händer generellt att när den initiala störningen är av liten amplitud, är ekvationen som beskriver vågens utbredning linjär eller kan linjäriseras av vissa approximationer, även om detta inte alltid är fallet..
Artikelindex
I ett linjärt medium kan en vågform som är begränsad i utrymme och tid representeras av summan av vågfunktioner för sinus- eller cosinustyp av olika frekvenser och våglängder med Fourier-serier.
Linjära vågor har alltid associerat en differentiell ekvation av den linjära typen, vars lösning representerar förutsägelsen av vad störningen kommer att vara i senare ögonblick av en initial störning lokaliserad i början.
Den klassiska linjära vågekvationen, i en enda rumslig dimension, vars lösningar är linjära vågor är:
I ovanstående ekvation eller representerar störningen av en viss fysisk kvantitet vid positionen x och i ögonblicket t, nämligen eller är en funktion av x Y t:
u = u (x, t)
Till exempel om det är en ljudvåg i luften, eller kan representera variationen i trycket med avseende på dess värde utan att störa.
I fallet med en elektromagnetisk våg representerar u det elektriska fältet eller magnetfältet som svänger vinkelrätt mot utbredningsriktningen.
I fallet med ett stramt rep, eller representerar tvärförskjutningen i förhållande till linjens jämvikt, såsom visas i följande figur:
Om det finns två eller flera lösningar av den linjära differentialekvationen, kommer varje lösning multiplicerad med en konstant att vara en lösning och så kommer summan av dem.
Till skillnad från icke-linjära ekvationer medger linjära vågekvationer harmoniska lösningar av typen:
eller1= A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) Y ellertvå= A⋅sen (k⋅x + ω⋅t)
Detta kan verifieras genom enkel substitution i linjärvågsekvationen.
Den första lösningen representerar en vandringsvåg som rör sig åt höger, medan den andra lösningen snabbt vänster c = ω / k.
Harmoniska lösningar är karakteristiska för linjära vågekvationer.
Å andra sidan är den linjära kombinationen av två harmoniska lösningar också en lösning av den linjära vågekvationen, till exempel:
u = A1 cos (k1⋅x - ω1⋅t) + Atvå sen (ktvå⋅x - ωtvå⋅t) är en lösning.
Det mest relevanta kännetecknet för linjära vågor är att vilken vågform som helst, oavsett hur komplex, kan erhållas genom en summering av enkla harmoniska vågor i sinus och cosinus:
u (x, t) = A0 + ∑n TILLn cos (kn⋅x - ωn⋅t) + ∑m Bm sen (km⋅x - ωm⋅t).
I den klassiska linjära vågekvationen, c representerar pulsens fortplantningshastighet.
I de fall där c är ett konstant värde, till exempel elektromagnetiska vågor i vakuum, sedan en puls i början t = 0 Form f (x) sprider sig enligt:
u (x, t) = f (x - c⋅t)
Utan att drabbas av någon snedvridning. När detta inträffar sägs mediet vara icke-dispersivt..
I dispersivt medium kan dock utbredningshastigheten c bero på våglängden λ, det vill säga: c = c (λ).
Elektromagnetiska vågor är spridda när de reser genom ett materialmedium. Även ytvågorna i vattnet rör sig i olika hastigheter beroende på vattendjupet.
Hastigheten med vilken en harmonisk våg av typen A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) det är ω / k = c y kallas fashastigheten. Om mediet är dispersivt, då c är en funktion av vågnumret k: c = c (k), var k är relaterad till våglängd med k = 2π / λ.
Förhållandet mellan frekvens och våglängd kallas dispersionsförhållande, än uttryckt i termer av vinkelfrekvensen ω och vågnummer k det är: ω = c (k) ⋅k.
Några karakteristiska dispersionsförhållanden för linjära vågor är följande:
I havsvågor där våglängden (avståndet mellan topparna) är mycket större än djupet H, men eftersom dess amplitud är mycket mindre än djupet är dispersionsförhållandet:
ω = √ (gH) ⋅k
Därifrån dras slutsatsen att de sprider sig med konstant hastighet √ (gH) (icke-dispersivt medium).
Men vågor i mycket djupa vatten är spridda, eftersom deras spridningsförhållande är:
ω = √ (g / k) ⋅k
Detta innebär att fashastigheten ω / k är variabel och beror på vågnumret och därför på våglängden.
Om två harmoniska linjära vågor överlappar varandra men avancerar vid olika hastigheter, matchar inte grupphastigheten (det vill säga vågpaketet) fashastigheten.
Grupphastighet vg definieras som derivat av frekvensen med avseende på vågtalet i dispersionsförhållandet: vg = ω '(k).
Följande bild visar superpositionen eller summan av två harmoniska vågor eller1= A⋅sen (k1⋅x - ω1⋅t) Y ellertvå= A⋅sen (ktvå⋅x - ωtvå⋅t) reser i olika hastigheter v1= ω1/ k1 Y vtvå= ωtvå/ ktvå. Observera hur grupphastigheten skiljer sig från fashastigheten, i detta fall är grupphastigheten ∆ω / ∆k.
Beroende på dispersionsförhållandet kan det till och med hända att fashastigheten och grupphastigheten i linjära vågor har motsatta riktningar..
Elektromagnetiska vågor är linjära vågor. Dess vågekvation härleds från elektromagnetismens ekvationer (Maxwells ekvationer) som också är linjära.
Det är ekvationen som beskriver partiklarnas dynamik i atomskala, där vågegenskaperna är relevanta, till exempel fallet med elektroner i atomen.
Så "elektronvågen" eller vågfunktionen som den också kallas är en linjär våg.
Linjära vågor är också de där amplituden är mycket mindre än våglängden och våglängden mycket större än djupet. Vågor på djupt vatten följer den linjära teorin (känd som Airy wave theory).
Emellertid är den våg som närmar sig stranden och bildar den karakteristiska curlingtoppen (och som surfare älskar) en icke-linjär våg..
Eftersom ljud är en liten störning av atmosfärstrycket anses det vara en linjär våg. Chockvågen från en explosion eller vågfronten från ett supersoniskt flygplan är dock typiska exempel på en icke-linjär våg..
Vågorna som sprider sig genom ett spänt rep är linjära så länge som den initiala pulsen är av liten amplitud, det vill säga repets elastiska gräns överskrids inte..
Linjära vågor i strängarna reflekteras i sina ändar och överlappar varandra, vilket ger upphov till stående vågor eller vibrationslägen som ger de harmoniska och subharmoniska tonerna som är karakteristiska för stränginstrument..
Ingen har kommenterat den här artikeln än.