A parallellepiped det är en geometrisk kropp bildad av sex ytor, vars huvudegenskap är att alla dess ytor är parallellogram och dess motsatta ytor är parallella med varandra. Det är en vanlig polyeder i våra dagliga liv, eftersom vi kan hitta den i skokartonger, formen på en tegelsten, formen på en mikrovågsugn, etc..
Att vara en polyeder, omsluter parallelepiped en slutlig volym och alla dess ansikten är plana. Det är en del av gruppen prismor, vilka är de polyedrar där alla dess hörn finns i två parallella plan.
Artikelindex
De är var och en av de regioner som bildas av parallellogram som begränsar parallellpiped. En parallellpiped har sex ansikten, där varje ansikte har fyra angränsande ansikten och en motsatt. Dessutom är varje yta parallell med sin motsats.
De är den vanliga sidan av två ansikten. Totalt har en parallelepiped tolv kanter.
Det är den gemensamma punkten för tre ansikten som ligger intill varandra två och två. En parallellpiped har åtta hörn.
Med tanke på två sidor av en parallellpiped motsatt varandra, kan vi rita ett linjesegment som går från topparna på ena sidan till motsatta toppunkten på den andra..
Detta segment är känt som diagonalen för parallellpiped. Varje parallellpiped har fyra diagonaler.
Det är den punkt där alla diagonaler skär varandra.
Som vi redan nämnde har denna geometriska kropp tolv kanter, sex ytor och åtta hörn..
I en parallellpipad kan tre uppsättningar bildas av fyra kanter identifieras, vilka är parallella med varandra. Dessutom har kanterna på dessa uppsättningar egenskapen att ha samma längd.
En annan egenskap som parallellpipade besitter är att de är konvexa, det vill säga om vi tar ett par punkter som hör till det inre av parallellpiped, kommer det segment som bestäms av nämnda par av punkter också att vara inuti parallellpiped..
Dessutom överensstämmer parallellpipeder som är konvexa polyedrar med Eulers sats för polyeder, vilket ger oss en relation mellan antalet ansikten, antalet kanter och antalet hörn. Detta förhållande ges i form av följande ekvation:
C + V = A + 2
Denna egenskap är känd som Euler-karakteristiken..
Där C är antalet ansikten, V antalet hörnpunkter och A antalet kanter.
Vi kan klassificera parallelepipeds baserat på deras ansikten, i följande typer:
De är parallellpipeds där deras ansikten bildas av sex rektanglar. Varje rektangel är vinkelrät mot de som delar en kant. De är de vanligaste i vårt dagliga liv, detta är den vanliga formen av skokartonger och tegelstenar..
Detta är ett särskilt fall av det föregående, där var och en av ansikten är en fyrkant.
Kuben är också en del av de geometriska kropparna som kallas platoniska fasta ämnen. En platonisk fast substans är en konvex polyeder, så att både dess ansikten och inre vinklar är lika med varandra..
Det är en parallellpiped med romber för ansiktet. Dessa romber är alla lika med varandra, eftersom de delar kanter.
Dess sex ansikten är rhomboid. Kom ihåg att en romboid är en polygon med fyra sidor och fyra vinklar som är lika med två till två. Rhomboids är parallellogram som varken är kvadrater eller rektanglar eller romber.
Å andra sidan är Oblique Parallelepipeds de där minst en höjd inte överensstämmer med deras kant. I denna klassificering kan vi inkludera rhombohedra och rhombohedra.
För att beräkna diagonalen för en ortoeder kan vi använda den pythagoreiska satsen för R3.
Kom ihåg att en ortohedron har den egenskapen att varje sida är vinkelrät mot sidorna som delar en kant. Av detta faktum kan vi dra slutsatsen att varje kant är vinkelrät mot de som delar ett toppunkt.
För att beräkna längden på en diagonal för en ortoeder går vi enligt följande:
1. Vi beräknar diagonalen på en av ansikten, som vi kommer att lägga som bas. För detta använder vi Pythagoras teorem. Låt oss namnge denna diagonala db.
två. Sedan med db vi kan bilda en ny höger triangel, så att hypotenusen för nämnda triangel är den diagonala D som eftersträvas.
3. Vi använder Pythagoras sats igen och vi har att längden på nämnda diagonal är:
Ett annat sätt att beräkna diagonaler på ett mer grafiskt sätt är med summan av fria vektorer.
Kom ihåg att två fria vektorer A och B läggs till genom att placera svansen på vektor B med spetsen på vektor A.
Vektorn (A + B) är den som börjar vid A-svansen och slutar vid spetsen av B.
Låt oss överväga en parallellpiped för vilken vi vill beräkna en diagonal.
Vi identifierar kanterna med bekvämt orienterade vektorer.
Sedan lägger vi till dessa vektorer och den resulterande vektorn blir diagonalen för parallellpiped.
Området för en parallellpipad ges av summan av var och en av dess ytor.
Om vi bestämmer en av sidorna som bas,
TILLL + 2AB = Total yta
Vart?L är lika med summan av områdena på alla sidor intill basen, kallad sidoområdet och A.B är basområdet.
Beroende på vilken typ av parallelepiped vi arbetar med kan vi skriva om den här formeln.
Det ges av formeln
A = 2 (ab + bc + ca).
Med tanke på följande ortoeder, med sidorna a = 6 cm, b = 8 cm och c = 10 cm, beräkna arean för parallellpiped och längden på dess diagonala.
Med hjälp av formeln för en ortohedrons area har vi det
A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cmtvå.
Observera att eftersom det är en ortoeder är längden på någon av dess fyra diagonaler densamma.
Med hjälp av Pythagoras sats för rymden har vi det
D = (6två + 8två + 10två)1/2 = (36 + 64 + 100)1/2 = (200)1/2
Eftersom varje kant har samma längd har vi att a = b och a = c. Att ersätta i den tidigare formeln vi har
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3atvå) = 6atvå
A = 6atvå
Lådan på en spelkonsol är formad som en kub. Om vi vill linda den här lådan med omslagspapper, hur mycket papper skulle vi spendera medvetna om att längden på kubens kanter är 45 cm?
Med formeln för kubens yta får vi det
A = 6 (45 cm)två = 6 (2025 cmtvå) = 12150 cmtvå
Eftersom alla deras ansikten är lika är det tillräckligt att beräkna ytan på en av dem och multiplicera den med sex.
Vi har att arean av en rombe kan beräknas genom dess diagonaler med följande formel
TILLR = (Dd) / 2
Med hjälp av denna formel följer att den totala arean av rombohedronen är
TILLT = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.
Följande rombohedrons ytor bildas av en romb vars diagonaler är D = 7 cm och d = 4 cm. Ditt område kommer att vara
A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cmtvå.
För att beräkna arean på en romboeder måste vi beräkna arean på de romboider som utgör den. Eftersom parallellpipeder uppfyller egenskapen att motsatta sidor har samma område kan vi associera sidorna i tre par.
På detta sätt har vi att ditt område kommer att vara
TILLT = 2b1h1 + 2btvåhtvå + 2b3h3
Där bi är baserna associerade med sidorna och hi dess relativa höjd motsvarande baserna.
Tänk på följande parallellpiped,
där sida A och sida A '(dess motsatta sida) har en bas b = 10 och en höjd h = 6. Det markerade området kommer att ha ett värde av
TILL1 = 2 (10) (6) = 120
B och B 'har b = 4 och h = 6, så
TILLtvå = 2 (4) (6) = 48
Och C och C 'har b = 10 och h = 5, alltså
TILL3 = 2 (10) (5) = 100
Slutligen är området romboherron
A = 120 + 48 + 100 = 268.
Formeln som ger oss volymen för en parallellpiped är produkten av ytan på en av dess ansikten med höjden som motsvarar nämnda ansikte.
V = AChC
Beroende på typen av parallellpiped kan denna formel förenklas.
Således har vi till exempel att volymen på en ortoeder skulle ges av
V = abc.
Där a, b och c representerar längden på kanterna på ortohedronen.
Och i det särskilda fallet med kuben är
V = a3
Det finns tre olika modeller för cookieboxar och du vill veta i vilken av dessa modeller du kan lagra fler cookies, det vill säga vilken av rutorna som har störst volym.
Den första är en kub vars kant har en längd på a = 10 cm
Volymen blir V = 1000 cm3
Den andra har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
Och därför är dess volym V = 765 cm3
Och den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm och g = 13 cm
Och dess volym är V = 1053 cm3
Därför är rutan med den största volymen den tredje.
En annan metod för att erhålla volymen på en parallellpiped är att använda vektoralgebra. I synnerhet triple dot-produkten.
En av de geometriska tolkningarna som den tredubbla skalära produkten har är den parallellpipade volymen, vars kanter är tre vektorer som delar samma toppunkt som utgångspunkt.
På detta sätt, om vi har en parallellpiped och vi vill veta vad dess volym är, räcker det att representera den i ett koordinatsystem i R3 vilket gör att en av dess hörn sammanfaller med ursprunget.
Sedan representerar vi kanterna som sammanfaller vid ursprunget med vektorer som visas i figuren.
Och på det här sättet har vi att volymen för den parallellpipade ges av
V = | AxB ∙ C |
Eller på motsvarande sätt är volymen bestämmande för 3 × 3-matrisen, bildad av komponenterna i kantvektorerna.
När du representerar följande parallelepiped i R3 vi kan se att vektorerna som bestämmer det är följande
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) och w = (-0,25, -4, 4)
Genom att använda den produkt med tre punkter vi har
V = | (uxv) ∙ w |
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60
Av detta drar vi slutsatsen att V = 60
Låt oss nu överväga följande parallellpiped i R3 vars kanter bestäms av vektorerna
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) och C = (3, 4, 4)
Att använda determinanter ger oss det
Således har vi att volymen för nämnda parallellpiped är 112.
Båda är likvärdiga sätt att beräkna volym.
En ortoeder kallas en Euler-tegelsten (eller Eulers block) som uppfyller egenskapen att både längden på dess kanter och längden på diagonalerna på var och en av dess ansikten är heltal.
Även om Euler inte var den första forskaren som studerade ortohedra som uppfyller denna egenskap, hittade han intressanta resultat om dem..
Den minsta Euler-tegelstenen upptäcktes av Paul Halcke och längderna på dess kanter är a = 44, b = 117 och c = 240.
Ett öppet problem i talteorin är som följer
Finns det perfekta orthohedra?
För närvarande har denna fråga inte besvarats, eftersom det inte har varit möjligt att bevisa att sådana organ inte existerar, men det har inte heller hittats några..
Det som har visats hittills är att det finns perfekta parallellpipeds. Den första som upptäcks har längden på sina kanter värdena 103, 106 och 271.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.