A konvex polygon det är en geometrisk figur som finns i ett plan som kännetecknas av att den har alla sina diagonaler i sitt inre och dess vinklar mäter mindre än 180º. Bland dess egenskaper är följande:
1) Den består av n på varandra följande segment där det sista av segmenten förenas med det första. 2) Inget av segmenten skär varandra på ett sådant sätt att planet avgränsas i ett inre område och ett yttre område. 3) Varje vinkel i det inre området är strikt mindre än en plan vinkel.
Ett enkelt sätt att avgöra om en polygon är konvex eller inte är att överväga linjen som passerar genom en av dess sidor, som bestämmer två halvplan. Om polygonets andra sidor ligger i samma halvplan i varje linje som passerar genom ena sidan är det en konvex polygon.
Artikelindex
Varje polygon består av följande element:
- Sidor
- Hörn
Sidorna är vart och ett av de på varandra följande segmenten som utgör polygonen. I en polygon kan inget av segmenten som utgör den ha en öppen ände, i så fall skulle det finnas en polygonal linje men inte en polygon.
Vertices är korsningspunkterna för två på varandra följande segment. I en polygon är antalet hörn alltid lika med sidorna.
Om två sidor eller delar av en polygon skär varandra har du en korsad polygon. Korsningen betraktas inte som ett toppunkt. En tvär polygon är en icke-konvex polygon. Stjärn polygoner är tvär polygoner och är därför inte konvexa.
När en polygon har alla sina sidor av samma längd, har vi en vanlig polygon. Alla vanliga polygoner är konvexa.
Figur 1 visar flera polygoner, några av dem är konvexa och andra inte. Låt oss analysera dem:
Siffran 1 är en tresidig polygon (triangel) och alla inre vinklar är mindre än 180º, därför är det en konvex polygon. Alla trianglar är konvexa polygoner.
Siffran 2 är en fyrsidig polygon (fyrkant) där ingen av sidorna skär varandra och varje inre vinkel är mindre än 180 °. Det är då en konvex polygon med fyra sidor (konvex fyrkant).
Å andra sidan är siffran 3 en polygon med fyra sidor men en av dess inre vinklar är större än 180 °, så den uppfyller inte konvexitetsvillkoret. Det vill säga det är en icke-konvex fyrsidig polygon som kallas en konkav fyrkant..
Siffran 4 är en polygon med fyra segment (sidor), varav två skär varandra. De fyra inre vinklarna är mindre än 180 °, men eftersom två sidor korsar sig är det en icke-konvex korsad polygon (korsad fyrkant).
Ett annat fall är siffran 5. Detta är en femsidig polygon, men eftersom en av dess inre vinklar är större än 180º, har vi en konkav polygon.
Slutligen har siffran 6, som också har fem sidor, alla sina inre vinklar mindre än 180º, så det är en konvex polygon med fem sidor (konvex femkant).
1- En icke-korsad polygon eller enkel polygon delar planet som innehåller det i två regioner. Den inre regionen och den yttre regionen, polygonen är gränsen mellan de två regionerna.
Men om polygonen dessutom är konvex, har vi ett inre område som helt enkelt är anslutet, vilket innebär att det tar två punkter från det inre området, det kan alltid förenas med ett segment som tillhör helt det inre området..
2- Varje inre vinkel för en konvex polygon är mindre än en plan vinkel (180º).
3- Alla inre punkter i en konvex polygon tillhör alltid en av halvplanen definierade av linjen som passerar genom två på varandra följande hörn.
4- I en konvex polygon finns alla diagonalerna helt i det inre polygonområdet.
5- De inre punkterna i en konvex polygon tillhör helt den konvexa vinkelsektor som definieras av varje inre vinkel.
6- Varje polygon där alla dess hörn är på en omkrets är en konvex polygon som kallas en cyklisk polygon.
7- Varje cyklisk polygon är konvex, men inte varje konvex polygon är cyklisk.
8- Varje icke-korsad polygon (enkel polygon) som har alla dess sidor av lika längd är konvex och är känd som en vanlig polygon.
9- Det totala antalet N diagonaler för en konvex polygon med n sidor ges av följande formel:
N = ½ n (n - 3)
Bevis: I en konvex polygon med n sidor av varje toppunkt ritas n - 3 diagonaler, eftersom själva toppunktet och de två intilliggande undantas. Eftersom det finns n hörn ritas totalt n (n - 2) diagonaler, men varje diagonal ritades två gånger, så antalet diagonaler (utan upprepning) är n (n-2) / 2.
10- Summan S av de inre vinklarna för en konvex polygon med n sidor ges av följande förhållande:
S = (n - 2) 180º
Bevis: Från ett toppunkt dras diagonaler n-3 som definierar n-2 trianglar. Summan av de inre vinklarna i varje triangel är 180º. Den totala summan av vinklarna för n-2-trianglarna är (n-2) * 180º, vilket sammanfaller med summan av polygonets inre vinklar.
Cyklisk sexkant, är en polygon med sex sidor och sex hörn, men alla hörn är på samma omkrets. Varje cyklisk polygon är konvex.
Bestäm värdet på de inre vinklarna för en vanlig enegon.
Lösning: Enegonen är en 9-sidig polygon, men om den också är vanlig är alla sidor och vinklar lika.
Summan av alla inre vinklar på en 9-sidig polygon är:
S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º
Men det finns 9 inre vinklar med samma mått α, så följande jämställdhet måste uppfyllas:
S = 9 α = 1260º
Därav följer att måttet α för varje inre vinkel i den vanliga enegonen är:
α = 1260º / 9 = 140º
Ingen har kommenterat den här artikeln än.