De axiell symmetri Det inträffar när punkterna i en figur sammanfaller med punkterna i en annan figur med hjälp av en rak halvering som kallas symmetriaxeln. Det kallas också radiell, roterande eller cylindrisk symmetri..
Det används vanligtvis i geometriska figurer, men det är lätt att observera i naturen, eftersom det finns djur som fjärilar, skorpioner, nyckelpigor eller människor som presenterar axiell symmetri..
Artikelindex
För att hitta den axiella symmetrin P 'för en punkt P med avseende på en linje (L) utförs följande geometriska operationer:
1.- Vinkelrätt mot linjen (L) som passerar genom punkt P ritas.
2. - Avlyssningen av de två raderna bestämmer en punkt O.
3.- Längden på segmentet PO mäts, sedan kopieras denna längd över linjen (PO) från O i riktningen från P till O och bestämmer punkten P '.
4.- Punkt P 'är den axiella symmetriska punkten P med avseende på axeln (L), eftersom linjen (L) är mediatrisen för segmentet PP', där O är mittpunkten för nämnda segment.
- Axiell symmetri är isometrisk, det vill säga avstånden mellan en geometrisk figur och dess motsvarande symmetri bevaras.
- Måttet på en vinkel och dess symmetriska är lika.
- Den axiella symmetrin för en punkt på symmetriaxeln är själva punkten.
- Den symmetriska linjen för en linje parallell med symmetriaxeln är också en linje parallell med nämnda axel.
- En sekantlinje till symmetriaxeln har som en symmetrisk linje en annan sekantlinje som i sin tur skär symmetriaxeln vid samma punkt som den ursprungliga linjen.
- Den symmetriska bilden av en linje är en annan linje som bildar en vinkel med symmetriaxeln av samma mått som den för den ursprungliga linjen.
- Den symmetriska bilden av en linje vinkelrät mot symmetriaxeln är en annan linje som överlappar den första.
- En linje och dess axiella symmetriska linje bildar en vinkel vars halva är symmetriaxeln.
Naturen visar rikliga exempel på axiell symmetri. Till exempel kan du se symmetri av ansikten, insekter som fjärilar, reflektion på lugna vattenytor och speglar eller blad av växter, bland många andra..
Vi har triangeln med hörn A, B och C vars kartesiska koordinater är respektive A = (2, 5), B = (1, 1) och C = (3,3). Hitta de kartesiska koordinaterna för triangeln symmetrisk kring Y-axeln (ordinataxel).
Lösning: Om en punkt P har koordinater (x, y) är dess symmetrisk kring ordinataxeln (Y-axeln) P '= (- x, y). Det vill säga värdet på dess abscissa ändrar tecken medan ordinatets värde förblir detsamma.
I det här fallet kommer den symmetriska triangeln med hörn A ', B' och C 'att ha koordinater:
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) och C' = (- 3, 3) som kan ses i figur 6.
Med hänvisning till triangel ABC och dess symmetriska A'B'C 'från övning 1, kontrollera att motsvarande sidor av den ursprungliga triangeln och dess symmetriska har samma längd.
Lösning: För att hitta avståndet eller längden på sidorna använder vi den euklidiska avståndsformeln:
d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123
Längden på motsvarande symmetriska sida A'B 'beräknas nedan:
d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123
På detta sätt är det verifierat att axiell symmetri bevarar avståndet mellan två punkter. Proceduren kan upprepas för de andra två sidorna av triangeln och dess symmetriska för att kontrollera invariansen i längd. Till exempel | AC | = | A'C '| = √5 = 2 236.
I förhållande till triangel ABC och dess symmetriska A'B'C 'från övning 1, kontrollera att motsvarande vinklar i original triangeln och dess symmetriska har samma vinkelmått.
Lösning: För att bestämma måtten på vinklarna BAC och B'A'C 'kommer den skalära produkten från vektorerna att beräknas först AB med AC och sedan punktprodukten av A'B ' med A'C '.
Kom ihåg att:
A = (2, 5), B = (1, 1) och C = (3,3)
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) och C' = (- 3, 3).
Det har:
AB = <1-2, 1-5> Y AC = <3-2, 3-5>
liknande
A'B ' = <-1+2, 1-5> Y AC = <-3+2, 3-5>
Sedan finns följande skalära produkter:
AB⋅AC = <-1, -4>⋅<1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
Liknande
A'B'⋅A'C ' = <1, -4>⋅<-1, -2> = 1 (-1) + (-4) 2 (-2) = -1 + 8 = 7
Måttet på vinkeln BAC är:
∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (|AB |⋅ |AC |)) =
ArcCos (7 / (4,123-22,236)) = 40,6º
På samma sätt är måttet på vinkeln B'A'C ':
∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C ' / (|A'B '|⋅ |A'C '|)) =
ArcCos (7 / (4,123-22,236)) = 40,6º
Slutsatsen att axiell symmetri bevarar vinkelmåttet.
Låt vara en punkt P av koordinaterna (a, b). Hitta koordinaterna för dess axiella symmetri P 'med avseende på linjen y = x.
Lösning: Vi kommer att anropa (a ', b') koordinaterna för den symmetriska punkten P 'med avseende på linjen y = x. Mittpunkten M för segmentet PP 'har koordinater ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) och är också på raden y = x, så följande jämställdhet är sant:
a + a '= b + b'
Å andra sidan har segmentet PP 'lutning -1 eftersom det är vinkelrätt mot linjen y = x med lutning 1, så följande jämlikhet gäller:
b - b '= a' -a
För att lösa de två tidigare likheterna a 'och b' dras slutsatsen att:
a '= b och att b' = a.
Det vill säga, givet en punkt P (a, b), är dess axiella symmetri med avseende på linjen y = x P '(b, a).
Ingen har kommenterat den här artikeln än.