Ackordlängd (geometri), sats och övningar

A sträng, i plangeometri är det linjesegmentet som sammanfogar två punkter i en kurva. Linjen som innehåller detta segment sägs vara en sekantlinje till kurvan. Detta är ofta en cirkel, men ackord kan säkert dras på många andra kurvor, som ellipser och parabolor..

I figur 1 till vänster finns en kurva, till vilken punkterna A och B. Akkorden mellan A och B är det gröna segmentet. Till höger är en omkrets och en av dess strängar, eftersom det är möjligt att rita oändligt.

I omkretsen är dess diameter särskilt intressant, vilket också kallas stort ackord. Det är ett ackord som alltid innehåller centrum av omkretsen och mäter två gånger radien.

Följande bild visar radien, diametern, ett ackord och även cirkelbågen. Att identifiera var och en är viktigt när man löser problem.

Artikelindex

• 1 Ackordlängd på en omkrets
  • 1.1 Strängsats 
• 2 Lösta strängövningar
  • 2.1 - Övning 1
  • 2.2 - Övning 2
• 3 Referenser

Ackordlängd på en omkrets

Vi kan beräkna ackordets längd i en cirkel från figurerna 3a och 3b. Observera att en triangel alltid bildas med två lika sidor (likbent): segment OA och OB, som mäter R, omkretsens radie. Den tredje sidan av triangeln är segmentet AB, kallat C, vilket är exakt ackordets längd.

Det är nödvändigt att rita en linje vinkelrätt mot ackordet C för att halva vinkeln θ som finns mellan de två radierna och vars topp är centrum O för omkretsen. Det här är en central vinkel -eftersom dess toppunkt är mitt- och halvlinjen är också en sekant för omkretsen.

Omedelbart bildas två högra trianglar, vars hypotenus mäter R. Eftersom halvan och därmed diametern delar ackordet i två lika stora delar, visar det sig att ett av benen är hälften av C, vilket indikeras i figur 3b.

Från definitionen av sinus i en vinkel:

sin (θ / 2) = motsatt ben / hypotenus = (C / 2) / R

Därför:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Strängsats 

Strängsetningen går så här:

Om två ackord i en cirkel skär varandra vid en punkt, är produkten av längden på segmenten som visas på ett av ackorden lika med produkten av längderna på de segment som definieras på det andra ackordet..

Följande bild visar två ackord med samma omkrets: AB och CD, som skär varandra vid punkt P. I ackordet AB definieras segmenten AP och PB medan i ackordet definieras CP CP och PD. Så enligt satsen:

AP. PB = CP. P.S.

Lösta övningar av strängar

- Övning 1

En omkrets har ett 48 cm ackord, vilket är 7 cm från centrum. Beräkna cirkelns yta och omkretsens omkrets.

Lösning  

För att beräkna arean av cirkel A är det tillräckligt att känna till omkretsens radie i kvadrat, eftersom det är sant:

A = π.R^två

Nu är figuren som bildas med de angivna uppgifterna en rätt triangel, vars ben är 7 respektive 24 cm.

Därför att hitta värdet av R^två satsen för Pythagoras tillämpas direkt c^två = a^två + b^två, eftersom R är hypotenusen i triangeln:

R^två = (7 cm)^två + (24 cm)^två = 625 cm^två

Så det önskade området är:

A = π. 625 cm^två = 1963,5 cm^två

När det gäller omkretsen eller längden L beräknas den av:

L = 2π. R

Ersätter värden:

R = √625 cm^två = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Övning 2

Bestäm längden på ackordet för en cirkel vars ekvation är:

x^två + Y^två - 6x - 14y -111 = 0

Koordinaterna för ackordets mittpunkt är kända för att vara P (17/2; 7/2).

Lösning

Ackordets mittpunkt P inte tillhör omkretsen, men ackordets slutpunkter gör det. Problemet kan lösas med den tidigare angivna strängsatsen, men först är det bekvämt att skriva ekvationen av omkretsen i kanonisk form, för att bestämma dess radie R och dess centrum O.

Steg 1: få den kanoniska ekvationen för omkretsen

Cirkelns kanoniska ekvation med centrum (h, k) är:

(x-h)^två + (y-k)^två = R^två

För att få det är det nödvändigt att fylla i rutor:

(x^två - 6x) + (och^två - 14y) -111 = 0

Observera att 6x = 2. (3x) och 14y = 2. (7y), så att det tidigare uttrycket omskrivs så här, förblir oförändrat:

(x^två - 6x + 3^två-3^två) + (och^två - 14 år + 7^två-7^två) -111 = 0

Och nu, kom ihåg definitionen av anmärkningsvärd produkt (a-b)^två = a^två - 2ab + b^två Det kan skrivas:

(x - 3)^två - 3^två + (och - 7)^två - 7^två - 111 = 0

= (x - 3)^två + (och - 7)^två = 111 + 3^två + 7^två → (x - 3)^två + (och - 7)^två = 169

Omkretsen har centrum (3,7) och radie R = √169 = 13. Följande bild visar diagrammet för omkretsen och ackorden som kommer att användas i satsen:

Steg 2: bestämma de segment som ska användas i strängsatsen

De segment som ska användas är CD- och AB-strängarna, enligt figur 6, skärs båda vid punkt P, därför:

CP. PD = AP. PB

Nu ska vi hitta avståndet mellan punkterna O och P, eftersom detta ger oss längden på segmentet OP. Om vi ​​adderar radien till denna längd har vi segmentet CP.

Avståndet d_OP mellan två koordinatpunkter (x₁,Y₁) och (x_två,Y_två) det är:

d_OP^två = OP^två = (x_två - x₁)^två + (Y_två - Y₁)^två = (3- 17/2)^två + (7/7/2)^två = 121/4 + 49/4 = 170/4

d_OP = OP = √170 / 2

Med alla erhållna resultat plus diagrammet konstruerar vi följande lista över segment (se figur 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = ackordlängd

Ersätta i strängsatsen:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √170 / 2). (13 -√170 / 2)] = AP^två

[169 -170/4] = AP^två

253/2 = AP^två

AP = √ (253/2)

Ackordets längd är 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Kan läsaren lösa problemet på ett annat sätt?

Referenser

1. Baldor, A. 2004. Plan- och rymdgeometri med trigonometri. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Mexiko.
2. C-K12. Akkordets längd. Återställd från: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Återställd från: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Återställd från: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Rep (geometri). Återställd från: es.wikipedia.org.