De tillsatsnedbrytning av ett positivt heltal är att uttrycka det som en summa av två eller flera positiva heltal. Således har vi att siffran 5 kan uttryckas som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Var och en av dessa sätt att skriva siffran 5 är vad vi kommer att kalla additiv sönderdelning.
Om vi är uppmärksamma kan vi se att uttrycken 5 = 2 + 3 och 5 = 3 + 2 representerar samma sammansättning; de har båda samma siffror. Men för enkelhets skull skrivs vart och ett av tilläggen vanligtvis enligt kriteriet från lägsta till högsta.
Artikelindex
Som ett annat exempel kan vi ta siffran 27, som vi kan uttrycka som:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
Additiv sönderdelning är ett mycket användbart verktyg som låter oss stärka vår kunskap om numreringssystem.
När vi har siffror med mer än två siffror är ett särskilt sätt att sönderdela dem i multiplarna 10, 100, 1000, 10 000, etc., som utgör den. Detta sätt att skriva valfritt nummer kallas kanonisk tillsatsnedbrytning. Exempelvis kan siffran 1456 sönderdelas enligt följande:
1456 = 1000 + 400+ 50 + 6
Om vi har siffran 20 846 295 kommer dess kanoniska tillsatsnedbrytning att vara:
20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40000 + 6000 + 200 + 90 +5.
Tack vare denna sönderdelning kan vi se att värdet på en viss siffra ges av den position den intar. Låt oss ta siffrorna 24 och 42 som ett exempel:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
Här kan vi se att 24 har 2 ett värde på 20 enheter och 4 ett värde på 4 enheter; å andra sidan har 42 ett värde på 40 enheter och 2 av två enheter. Således, även om båda siffrorna använder samma siffror, är deras värden helt olika på grund av den position de intar.
En av de applikationer som vi kan ge för tillsatsnedbrytning är i vissa typer av bevis, där det är mycket användbart att se ett positivt heltal som summan av andra.
Låt oss ta ett exempel på följande sats med respektive bevis.
- Låt Z vara ett fyrsiffrigt heltal, då är Z delbart med 5 om dess enhetsnummer är noll eller fem.
Låt oss komma ihåg vad delbarhet är. Om vi har "a" och "b" heltal, säger vi att "a" delar "b" om det finns ett heltal "c" så att b = a * c.
En av egenskaperna hos delbarhet berättar att om "a" och "b" är delbara med "c", så är subtraheringen "a-b" också delbart..
Låt Z vara ett fyrsiffrigt heltal; därför kan vi skriva Z som Z = ABCD.
Med hjälp av kanonisk tillsatsnedbrytning har vi:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D.
Det är tydligt att A * 1000 + B * 100 + C * 10 är delbart med 5. Av denna anledning har vi att Z är delbart med 5 om Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) är delbart med 5.
Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D och D är ett enkelsiffrigt tal, så det enda sättet att det kan delas med 5 är att det är 0 eller 5.
Därför är Z delbart med 5 om D = 0 eller D = 5.
Observera att om Z har n siffror är beviset exakt detsamma, det ändras bara att nu skulle vi skriva Z = A1TILLtvå... TILLn och målet skulle vara att bevisa att An det är noll eller fem.
Vi säger att en partition av ett positivt heltal är ett sätt på vilket vi kan skriva ett tal som en summa av positiva heltal.
Skillnaden mellan en additiv sönderdelning och en partition är att, medan den första försöker att åtminstone den kan sönderdelas i två tillägg eller mer, har partitionen inte denna begränsning.
Således har vi följande:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
Ovanstående är partitioner på 5.
Det vill säga, vi har att varje tillsatsnedbrytning är en partition, men inte varje partition är nödvändigtvis en tillsatsnedbrytning..
I talteori garanterar den grundläggande satsen för aritmetik att varje heltal kan skrivas unikt som en primärprodukt.
När man studerar partitioner är målet att bestämma på hur många sätt ett positivt heltal kan skrivas som summan av andra heltal. Därför definierar vi partitionsfunktionen enligt nedan.
Partitionsfunktionen p (n) definieras som antalet sätt som ett positivt heltal n kan skrivas som en summa av positiva heltal.
Återgå till exemplet med 5 har vi det:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Således är p (5) = 7.
Både partitioner och additiva sönderdelningar av ett tal n kan representeras geometriskt. Antag att vi har en tillsatsnedbrytning på n. I denna sönderdelning kan tilläggen ordnas så att medlemmarna av summan ordnas från det minsta till det största. Så okej:
n = a1 + tilltvå + till3 +... + Ar med
till1 ≤ atvå ≤ a3 ≤… ≤ ar.
Vi kan rita denna nedbrytning på följande sätt: i en första rad markerar vi a1-poäng, sedan i nästa markerar vitvå-poäng och så vidare tills de når enr.
Ta till exempel siffran 23 och dess sönderdelning:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
Vi beställer denna sönderdelning och vi har:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
Dess motsvarande diagram skulle vara:
På samma sätt, om vi läser nämnda graf vertikalt istället för horisontellt, kan vi få en sönderdelning som möjligen skiljer sig från den tidigare. I exemplet med 23 sticker följande ut:
Så vi har 23, vi kan också skriva det som:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.