Det kallas ojämlikhet i triangeln till egenskapen för två reella tal som består av att deras absoluta värde alltid är mindre än eller lika med summan av deras absoluta värden. Den här egenskapen är också känd som Minkowski-ojämlikhet eller triangulär ojämlikhet.
Denna egenskap hos tal kallas triangulär ojämlikhet eftersom det i trianglar händer att längden på en sida alltid är mindre än eller lika med summan av de andra två, även om denna ojämlikhet inte alltid gäller i området trianglar..
Det finns flera bevis på den triangulära ojämlikheten i reella tal, men i det här fallet väljer vi ett baserat på egenskaperna för absolut värde och binomialen kvadrat.
Sats: För varje antal siffror till Y b med avseende på de verkliga siffrorna måste den:
| a + b | ≤ | till | + | b |
Artikelindex
Vi börjar med att överväga den första medlemmen av ojämlikheten, som kommer att kvadreras:
| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (ekv. 1)
I föregående steg använde vi egenskapen att vilket som helst tal i kvadrat är lika med det absoluta värdet för nämnda nummer i kvadrat, det vill säga: | x | ^ 2 = x ^ 2. Utvecklingen av den fyrkantiga binomialen har också använts.
Allt nummer x är mindre än eller lika med dess absoluta värde. Om talet är positivt är det lika, men om talet är negativt kommer det alltid att vara mindre än ett positivt tal. I detta fall sitt eget absoluta värde, det vill säga att det kan sägas att x ≤ | x |.
Produkten (a b) är ett nummer, därför gäller det att (a b) ≤ | a b |. När den här egenskapen tillämpas på (ekv. 1) har vi:
| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a b | + b ^ 2 (ekv. 2)
Med hänsyn till det | a b | = | a || b | (Ekv. 2) kan skrivas enligt följande:
| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a || b | + b ^ 2 (ekv.3)
Men eftersom vi tidigare sa att kvadraten på ett tal är lika med det absoluta värdet för talet i kvadrat, kan ekvation 3 skrivas om på följande sätt:
| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | b | + | b | ^ 2 (ekv.4)
I den andra medlemmen av ojämlikheten erkänns en anmärkningsvärd produkt, som när den används leder till:
| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (ekv. 5)
I det föregående uttrycket bör det noteras att värdena som ska kvadreras i båda medlemmarna av ojämlikheten är positiva, därför måste det också uppfyllas att:
| a + b | ≤ (| a | + | b |) (Ekv.6)
Ovanstående uttryck är precis vad man ville demonstrera.
Därefter kommer vi att kontrollera den triangulära ojämlikheten med flera exempel.
Vi tar värdet a = 2 och värdet b = 5, det vill säga båda positiva siffrorna och vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| 2 + 5 | ≤ | 2 | + | 5 |
| 7 | ≤ | 2 | + | 5 |
7 ≤ 2+ 5
Jämställdhet är verifierad, därför har triangelokalitetssatsen uppfyllts.
Följande värden väljs a = 2 och b = -5, det vill säga ett positivt tal och det andra negativa, vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| 2 - 5 | ≤ | 2 | + | -5 |
| -3 | ≤ | 2 | + | -5 |
3 ≤ 2 + 5
Ojämlikheten är uppfylld, därför har den triangulära olikhetssatsen verifierats.
Vi tar värdet a = -2 och värdet b = 5, det vill säga ett negativt tal och det andra positiva, vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| -2 + 5 | ≤ | -2 | + | 5 |
| 3 | ≤ | -2 | + | 5 |
3 ≤ 2 + 5
Ojämlikheten är verifierad, därför har satsen uppfyllts.
Följande värden väljs a = -2 och b = -5, det vill säga båda negativa tal och vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| -2 - 5 | ≤ | -2 | + | -5 |
| -7 | ≤ | -2 | + | -5 |
7 ≤ 2+ 5
Jämställdhet är verifierad, därför har Minkowskis olikhetssats uppfyllts.
Vi tar värdet a = 0 och värdet b = 5, det vill säga ett tal noll och det andra positiva, sedan kontrollerar vi om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| 0 + 5 | ≤ | 0 | + | 5 |
| 5 | ≤ | 0 | + | 5 |
5 ≤ 0+ 5
Jämställdhet uppfylls, därför har triangelojämlikhetssatsen verifierats.
Vi tar värdet a = 0 och värdet b = -7, det vill säga ett tal noll och det andra positiva, sedan kontrollerar vi om ojämlikheten är uppfylld eller inte.
| 0 - 7 | ≤ | 0 | + | -7 |
| -7 | ≤ | 0 | + | -7 |
7 ≤ 0+ 7
Jämställdhet är verifierad, därför har den triangulära olikhetssatsen uppfyllts.
I följande övningar representerar du geometriskt triangel ojämlikhet eller Minkowski ojämlikhet för siffrorna a och b.
Siffran a kommer att representeras som ett segment på X-axeln, dess ursprung O sammanfaller med nollan på X-axeln och den andra änden av segmentet (vid punkt P) kommer att vara i den positiva riktningen (till höger) på X-axel om a> 0, men om a < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.
På samma sätt kommer talet b att representeras som ett segment vars ursprung är på punkten P. Den andra ytterligheten, det vill säga punkten Q kommer att vara till höger om P om b är positiv (b> 0) och punkten Q kommer att vara | b | enheter till vänster om P om b<0.
Grafera trekantens ojämlikhet för a = 5 och b = 3 | a + b | ≤ | till | + | b |, varelse c = a + b.
Grafera den triangulära ojämlikheten för a = 5 och b = -3.
| a + b | ≤ | till | + | b |, varelse c = a + b.
Visa grafisk triangel ojämlikhet för a = -5 och b = 3.
| a + b | ≤ | till | + | b |, varelse c = a + b.
Konstruera grafiskt den trekantiga ojämlikheten för a = -5 och b = -3.
| a + b | ≤ | till | + | b |, varelse c = a + b.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.