De Euklidiskt avstånd är ett positivt tal som indikerar separationen mellan två punkter i ett utrymme där axiomerna och satserna i Euklids geometri uppfylls.
Avståndet mellan två punkter A och B i ett euklidiskt utrymme är längden på vektorn AB tillhör den enda linjen som passerar genom dessa punkter.
Utrymmet som vi uppfattar och där vi människor rör oss är ett tredimensionellt utrymme (3-D), där axiomerna och satserna i Euklids geometri uppfylls. Tvådimensionella delutrymmen (plan) och endimensionella delutrymmen (linjer) finns i detta utrymme..
Euklidiska utrymmen kan vara endimensionella (1-D), tvådimensionella (2-D), tredimensionella (3-D) eller n-dimensionella (n-D).
Punkter i det endimensionella utrymmet X är de som tillhör den orienterade linjen (OX), riktningen från O till X är den positiva riktningen. För att lokalisera punkterna på denna linje används det kartesiska systemet som består av att tilldela varje punkt på linjen ett nummer.
Artikelindex
Det euklidiska avståndet d (A, B) mellan punkterna A och B, som ligger på en linje, definieras som kvadratroten av kvadraten av skillnaderna i deras X-koordinater:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Denna definition garanterar att: avståndet mellan två punkter alltid är en positiv kvantitet. Och att avståndet mellan A och B är lika med avståndet mellan B och A..
Figur 1 visar det endimensionella euklidiska utrymmet som bildas av linjen (OX) och flera punkter på linjen. Varje punkt har en koordinat:
Punkt A har koordinat XA = 2,5, punkt B koordinat XB = 4 och punkt C koordinat XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Tvådimensionellt euklidiskt utrymme är ett plan. Punkterna i ett euklidiskt plan uppfyller axiomerna i Euklids geometri, till exempel:
- En enda rad passerar genom två punkter.
- Tre punkter på planet bildar en triangel vars inre vinklar alltid uppgår till 180º.
- I en rätt triangel är hypotenusens kvadrat lika med summan av benens kvadrater.
I två dimensioner har en punkt X- och Y-koordinater.
Till exempel har en punkt P koordinater (XP, YP) och en punkt Q-koordinater (XQ, YQ).
Det euklidiska avståndet mellan punkt P och Q definieras med följande formel:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Det bör noteras att denna formel är ekvivalent med Pythagoras teorem, som visas i figur 2.
Inte alla tvådimensionella utrymmen överensstämmer med euklidisk geometri. En sfärs yta är ett tvådimensionellt utrymme.
Vinklarna i en triangel på en sfärisk yta uppgår inte till 180 ° och med detta uppfylls inte den pythagoriska satsen, därför uppfyller inte en sfärisk yta Euklids axiomer.
Begreppet koordinater kan utvidgas till större dimensioner:
- I 2-D punkt har P koordinater (XP, YP)
- I 3-D har en punkt Q koordinater (XQ, YQ, ZQ)
- I 4-D punkt kommer R att ha koordinater (XR, YR, ZR, WR)
- I n-D kommer en punkt P att ha koordinater (P1, P2, P3,…, Pn)
Avståndet mellan två punkter P och Q i ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme beräknas med följande formel:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + ... + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokuset för alla punkter Q i ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme som är lika långt från en annan fast punkt P (centrum) bildar en n-dimensionell hypersfär.
Följande visar hur avståndet mellan två punkter i det euklidiska tredimensionella utrymmet beräknas.
Antag att punkt A i kartesiska koordinater x, y, z ges av A :( 2, 3, 1) och punkt B i koordinaterna B :( -3, 2, 2).
Vi vill bestämma avståndet mellan dessa punkter, för vilka det allmänna förhållandet används:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2-3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Det finns två punkter P och Q. Punkt P för kartesiska koordinater x, y, z ges av P :( 2, 3, 1) och punkten Q för koordinaterna Q :( -3, 2, 1).
Det ombeds att hitta koordinaterna för mittpunkten M för segmentet [PQ] som förbinder de två punkterna.
Lösning:
Den okända punkten M antas ha koordinater (X, Y, Z).
Eftersom M är mittpunkten för [PQ] måste det vara sant att d (P, M) = d (Q, M), så d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 måste också vara sant :
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Som i det här fallet är den tredje termen lika i båda medlemmarna, det tidigare uttrycket förenklas till:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Vi har sedan en ekvation med två okända X och Y. En annan ekvation krävs för att lösa problemet.
Punkt M tillhör linjen som passerar genom punkterna P och Q, som vi kan beräkna enligt följande:
Först är regissörvektorn PQ av den raka: PQ = < -3-2, 2-3, 1-1> = < -5, -1, 0 >.
Senare P.M. = OP + till PQ, var OP är positionsvektorn för punkt P och till är en parameter som tillhör de verkliga siffrorna.
Ovanstående ekvation är känd som linjens vektorekvation, som i kartesiska koordinater har följande form:
< X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + till < -5, -1, 0> = < 2 - 5a, 3 - a, 0>
Att jämföra motsvarande komponenter vi har:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Det vill säga X = 4 - 5a, Y = 6 - a, slutligen Z = 1.
Det är substituerat i det kvadratiska uttrycket som relaterar X till Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Det är förenklat:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Utvecklas nu:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Det är förenklat och avbryter liknande termer i båda medlemmarna:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametern a raderas:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 vilket resulterar i att a = 1.
Det vill säga X = 4 - 5, Y = 6 - 1, slutligen Z = 1.
Slutligen får vi de kartesiska koordinaterna för mittpunkten M för segmentet [PQ]:
M: (-1, 5, 1).
Ingen har kommenterat den här artikeln än.