De syntetisk division är ett enkelt sätt att dela alla polynom P (x) med en av formen d (x) = x - c. Till exempel är polynomet P (x) = (x5+3x4-7x3+2xtvå-8x + 1) kan representeras som multiplicering av de två enklaste polynomema (x + 1) och (x4 + 2x3).
Det är ett mycket användbart verktyg, förutom att vi kan dela polynomier, det gör det också möjligt för oss att utvärdera ett polynom P (x) vid valfritt tal c, vilket i sin tur säger oss exakt om talet är noll eller inte av polynom.
Tack vare delningsalgoritmen vet vi att om vi har två polynomer P (x) Y d (x) icke-konstanter, det finns polynomer q (x) Y r (x) unika sådana att det håller att P (x) = q (x) d (x) + r (x), där r (x) är noll eller mindre än q (x). Dessa polynom är kända som kvot respektive rest eller rest.
Vid de tillfällen då polynomet d (x) har formen x- c ger den syntetiska uppdelningen oss en kort väg att hitta vem som är q (x) och r (x).
Artikelindex
Låt P (x) = anxn+tilln-1xn-1+... + A1x + a0 polynomet som vi vill dela och d (x) = x-c delaren. För att dela med den syntetiska delningsmetoden går vi enligt följande:
1- Vi skriver koefficienterna för P (x) i första raden. Om någon kraft av X inte visas sätter vi noll som koefficient.
2- I andra raden, till vänster om an vi placerar c och drar delningslinjer som visas i följande bild:
3- Vi sänker den ledande koefficienten till tredje raden.
I detta uttryck bn-1= an
4- Vi multiplicerar c med den ledande koefficienten bn-1 och vi skriver resultatet i andra raden, men en kolumn till höger.
5- Vi lägger till kolumnen där vi skriver föregående resultat och vi placerar resultatet under den summan; det vill säga i samma kolumn tredje raden.
När vi lägger till har vi som ett resultatn-1+c * bn-1, som för enkelhets skull kommer vi att kalla bn-2
6- Vi multiplicerar c med föregående resultat och skriver resultatet till höger i andra raden.
7- Vi upprepar steg 5 och 6 tills vi når koefficienten a0.
8- Vi skriver svaret; det vill säga kvoten och resten. Eftersom vi delar ett polynom av grad n med ett polynom av grad 1 har vi att kvoten skulle vara av grad n-1.
Koefficienterna för kvotientpolynomet kommer att vara siffrorna i den tredje raden utom den sista, som kommer att vara resten eller resten av uppdelningen.
Utför följande delning med den syntetiska delningsmetoden:
(x5+3x4-7x3+2xtvå-8x + 1): (x + 1).
Vi skriver först utdelningskoefficienterna enligt följande:
Sedan skriver vi c på vänster sida, i andra raden, tillsammans med delningslinjerna. I detta exempel c = -1.
Vi sänker den ledande koefficienten (i detta fall bn-1 = 1) och vi multiplicerar det med -1:
Vi skriver resultatet till höger i andra raden, som visas nedan:
Vi lägger till siffrorna i den andra kolumnen:
Vi multiplicerar 2 med -1 och skriver resultatet i tredje kolumnen, andra raden:
Vi lägger till i den tredje kolumnen:
Vi fortsätter på samma sätt tills vi når den sista kolumnen:
Således har vi att det senast erhållna talet är resten av uppdelningen, och de återstående siffrorna är koefficienterna för kvotpolynomet. Detta skrivs enligt följande:
Om vi vill verifiera att resultatet är korrekt räcker det att verifiera att följande ekvation är sant:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Så vi kan kontrollera att det erhållna resultatet är korrekt.
Utför följande uppdelning av polynomer med den syntetiska uppdelningsmetoden
(7x3-x + 2): (x + 2)
I det här fallet har vi termen xtvå det visas inte, så vi skriver 0 som dess koefficient. Således skulle polynomet vara 7x3+0xtvå-x + 2.
Vi skriver deras koefficienter i rad, det här är:
Vi skriver värdet C = -2 på vänster sida i andra raden och ritar delningslinjerna.
Vi sänker den ledande koefficienten bn-1 = 7 och multiplicera det med -2, skriv ditt resultat i andra raden till höger.
Vi lägger till och fortsätter som tidigare förklarats tills vi når den sista terminen:
I detta fall är återstoden r (x) = - 52 och den erhållna kvoten är q (x) = 7xtvå-14x + 27.
Ett annat sätt att använda syntetisk uppdelning är följande: antag att vi har ett polynom P (x) av grad n och vi vill veta vilket värde är genom att utvärdera det till x = c.
Genom delningsalgoritmen har vi att vi kan skriva polynom P (x) enligt följande:
I detta uttryck är q (x) och r (x) kvoten respektive resten. Nu, om d (x) = x- c, när vi utvärderar vid c i polynomet får vi följande:
Av denna anledning återstår bara att hitta r (x), och vi kan göra det tack vare den syntetiska divisionen.
Till exempel har vi polynom P (x) = x7-9x6+19x5+12x4-3x3+19xtvå-37x-37 och vi vill veta vad dess värde är genom att utvärdera det till x = 5. För att göra detta delar vi mellan P (x) och d (x) = x -5 med den syntetiska delningsmetoden:
När operationerna är klara vet vi att vi kan skriva P (x) på följande sätt:
P (x) = (x6-4x5 -x4+ 7x3 +32xtvå +179x + 858) * (x-5) + 4253
När vi utvärderar det måste vi därför:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Som vi kan se är det möjligt att använda syntetisk division för att hitta värdet på ett polynom genom att utvärdera det vid c istället för att helt enkelt ersätta c med x.
Om vi försökte utvärdera P (5) på det traditionella sättet skulle vi tvingas göra några beräkningar som tenderar att bli tråkiga.
Delningsalgoritmen för polynomer är också sant för polynomer med komplexa koefficienter och som en konsekvens har vi att den syntetiska delningsmetoden också fungerar för sådana polynomer. Därefter ser vi ett exempel.
Vi kommer att använda den syntetiska delningsmetoden för att visa att z = 1+ 2i är en noll av polynom P (x) = x3+ (1 + i) xtvå -(1 + 2i) x + (15 + 5i); det vill säga resten av uppdelningen P (x) med d (x) = x - z är lika med noll.
Vi fortsätter som tidigare: i den första raden skriver vi koefficienterna för P (x), sedan i den andra skriver vi z och ritar delningslinjerna.
Vi utför uppdelningen som tidigare; detta är:
Vi kan se att resten är noll; därför drar vi slutsatsen att z = 1+ 2i är en noll av P (x).
Ingen har kommenterat den här artikeln än.