De ellipsoid är en yta i rymden som tillhör gruppen kvadriska ytor och vars allmänna ekvation har formen:
Yxatvå + Förbitvå + Cztvå + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Det är den tredimensionella ekvivalenten för en ellips, som i vissa speciella fall kännetecknas av elliptiska och cirkulära spår. Spår är kurvorna som erhålls genom att korsa ellipsoiden med ett plan.
Förutom ellipsoiden finns det ytterligare fem kvadrater: en-ark och två-ark hyperboloid, två typer av paraboloid (hyperbolisk och elliptisk) och den elliptiska konen. Dess spår är också koniska.
Ellipsoiden kan också uttryckas med standardekvationen i kartesiska koordinater. En ellipsoid centrerad vid ursprunget (0,0,0) och uttryckt på detta sätt liknar ellipsen, men med en ytterligare term:
Värdena för till, b Y c är reella tal större än 0 och representerar ellipsoidens tre halvaxlar.
Artikelindex
Standardekvationen i kartesiska koordinater för ellipsen centrerad vid punkten (h, k, m) det är:
I sfäriska koordinater kan ellipsoiden beskrivas enligt följande:
x = en synd θ. cos φ
y = b synd θ. sen φ
z = c cos θ
Halvaxlarna för ellipsoiden förblir a, b och c, medan parametrarna är vinklarna θ och φ i följande figur:
Den allmänna ekvationen för en yta i rymden är F (x, y, z) = 0 och spåren av ytan är kurvorna:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
I fallet med en ellipsoid är sådana kurvor ellipser och ibland cirklar.
Volymen V för ellipsoiden ges av (4/3) π gånger produkten av dess tre halvaxlar:
V = (4/3) π. abc
-En ellipsoid blir en sfär när alla halvaxlar har samma storlek: a = b = c ≠ 0. Detta är vettigt, eftersom ellipsoiden är som en sfär som har sträckts annorlunda längs varje axel..
-Sfäroid är en ellipsoid där två av halvaxlarna är identiska och den tredje är annorlunda, till exempel kan det vara a = b ≠ c.
Sfäroid kallas också en ellipsoid av revolution, eftersom den kan genereras genom att rotera ellipser runt en axel.
Om rotationsaxeln sammanfaller med huvudaxeln är sfäroid sprida sig, men om det sammanfaller med den mindre axeln är det oblat:
Måttet på utplattningen av sfäroid (ellipticitet) ges av skillnaden i längd mellan de två halvaxlarna, uttryckt i fraktionerad form, det vill säga det är utplattningsenheten, ges av:
f = (a - b) / a
I denna ekvation representerar a halv-huvudaxeln och b den halv-mindre axeln, kom ihåg att den tredje axeln är lika med en av dessa för en sfäroid. Värdet på f är mellan 0 och 1 och för en sfäroid måste det vara större än 0 (om det var lika med 0 skulle vi helt enkelt ha en sfär).
Planeterna och stjärnorna i allmänhet är vanligtvis inte perfekta sfärer, eftersom rotationsrörelsen runt deras axlar plattar kroppen vid polerna och bular ut den vid ekvatorn..
Det är därför jorden visar sig vara som en oblat sfäroid, även om den inte är så överdriven som den i föregående figur, och för sin del är gasjätten Saturnus den planaste planeten i solsystemet..
Så ett mer realistiskt sätt att representera planeterna är att anta att de är som en sfäroid eller ellipsoid av revolutionen, vars halvhuvudaxel är ekvatorialradien och den halvmindre axeln den polära radien..
Noggranna mätningar gjorda på jorden har gjort det möjligt att bygga referensellipsoid jordens mest exakta sätt att bearbeta den matematiskt.
Stjärnorna har också rotationsrörelser som ger dem mer eller mindre plana former. Den snabba stjärnan Achernar, den åttonde ljusaste stjärnan på natthimlen, i den södra stjärnbilden Eridanus är anmärkningsvärt elliptisk jämfört med de flesta. Det är 144 ljusår från oss.
Vid den andra ytterligheten fann forskare för några år sedan det mest sfäriska objekt som någonsin hittats: stjärnan Kepler 11145123, 5000 ljusår bort, dubbelt så stor som vår sol och en skillnad mellan halvaxlarna på bara 3 km. Som förväntat snurrar det också långsammare.
När det gäller jorden är det inte heller en perfekt sfäroid på grund av dess robusta yta och lokala variationer i gravitationen. Det är därför det finns mer än en referenssfäroid tillgänglig och på varje plats väljs det mest lämpliga för den lokala geografin..
Hjälpen från satelliter är ovärderlig för att skapa allt mer exakta modeller av jordens form, tack vare dem är det till exempel känt att sydpolen är närmare ekvatorn än nordpolen..
På grund av jordens rotation genereras en centrifugalkraft som ger den formen av en avlång ellipsoid istället för en sfär. Jordens ekvatorialradie är känd för att vara 3963 miles och polarradien är 3942 miles..
Hitta ekvationen för ekvatorns spår, den för denna ellipsoid och måttet på dess utplattning. Jämför också med Saturnus ellipticitet, med uppgifterna nedan:
-Saturnus ekvatorialradie: 60268 km
-Saturn Polar Radius: 54,364 km
Ett koordinatsystem krävs, vilket vi antar är centrerat på ursprunget (jordens centrum). Vi antar att den vertikala z-axeln och spåret som motsvarar ekvatorn ligger på xy-planet, motsvarande z = 0-planet.
I ekvatorplanet är halvaxlarna a och b lika, därför är a = b = 3963 miles, medan c = 3942 miles. Detta är ett speciellt fall: en sfäroid centrerad vid punkten (0,0,0) som anges ovan.
Ekvatorialspåret är en cirkel med radien R = 3963 miles, centrerad vid ursprunget. Det beräknas genom att göra z = 0 i standardekvationen:
Och standardekvationen för markbunden ellipsoid är:
F Landa = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0,0053
F Saturnus = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980
Observera att ellipticiteten f är en måttlös storlek.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.