De logaritmisk funktion är en matematisk relation som associerar varje positivt reellt tal x med sin logaritm Y på en bas till. Denna relation uppfyller kraven för att vara en funktion: varje element x som tillhör domänen har en unik bild.
Därför:
f (x) = y = logtill x , med en> 0 och skiljer sig från 1.
De viktigaste egenskaperna för den logaritmiska funktionen är:
-Dess domän är alla realer större än 0, inklusive 0. Med andra ord finns det ingen logaritm på 0 eller negativa tal i någon bas. I intervallform:
Sol F = (0, ∞ +)
-Logaritmen för ett tal kan vara negativ, positiv eller 0, så dess intervall eller intervall är:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-Den logaritmiska funktionen ökar alltid för a> 1 och minskar för a<1.
-Den inversa av f (x) = loggtill x är den exponentiella funktionen.
Faktum är att logaritmfunktionen baserad på är den inversa funktionen hos den potentiella funktionen:
F-1(x) = aY
Sedan logaritmen i basen till av ett nummer x, Det är numret Y till vilken basen ska höjas till att få x.
-Basens logaritm är alltid 1. Grafen för f (x) = loggtill x skär alltid x-axeln vid punkten (1,0)
-Den logaritmiska funktionen är transcendent och det kan inte uttryckas som ett polynom eller som en kvot av dessa. Förutom logaritmen inkluderar denna grupp bland annat trigonometriska och exponentiella funktioner.
Artikelindex
Den logaritmiska funktionen kan fastställas med olika baser, men de mest använda är 10 och och, var och är Euler-numret lika med 2.71828 ... .
När bas 10 används kallas logaritmen en decimal logaritm, vulgär logaritm, Briggs eller helt enkelt logaritm.
Och om numret e används kallas det en naturlig logaritm av John Napier, den skotska matematikern som upptäckte logaritmer..
Notationen som används för var och en är följande:
-Decimal logaritm: logg10 x = logg x
-Naturlig logaritm: ln x
När en annan bas ska användas är det absolut nödvändigt att ange det som ett abonnemang, eftersom logaritmen för varje nummer är olika beroende på basen som ska användas. Om det till exempel är logaritmer i bas 2, skriv:
y = loggtvå x
Låt oss titta på logaritmen för talet 10 i tre olika baser för att illustrera denna punkt:
logg 10 = 1
ln 10 = 2.30259
loggatvå 10 = 3,32193
Vanliga räknare har bara decimallogaritmer (logfunktion) och naturlig logaritm (ln-funktion). På Internet finns det miniräknare med andra baser. I vilket fall som helst kan läsaren med sin hjälp verifiera att ovanstående värden är sanna:
101 = 10
och2,3026 = 10.0001
två3.32193 = 10,0000
Små decimalskillnader beror på antalet decimaler som tas vid beräkningen av logaritmen.
Bland fördelarna med att använda logaritmer är den lätthet de ger att arbeta med stort antal, med deras logaritm istället för numret direkt.
Detta är möjligt eftersom logaritmfunktionen växer långsammare när siffrorna blir större, vilket vi kan se i diagrammet.
Så även med mycket stort antal är deras logaritmer mycket mindre, och det är alltid lättare att manipulera små nummer..
Dessutom har logaritmer följande egenskaper:
-Produkt: log (a.b) = log a + log b
-Kvot: log (a / b) = log a - log b
-Kraft: logga ab = b.log a
Och på detta sätt blir produkterna och kvoterna tillägg och subtraktioner av mindre antal, medan förstärkningen blir en enkel produkt även om effekten är hög..
Det är därför som logaritmer tillåter oss att uttrycka tal som varierar i mycket stora värden, såsom ljudets intensitet, pH i en lösning, ljusstyrkan hos stjärnor, den elektriska motståndskraften och intensiteten hos jordbävningar på Richter-skalan..
Låt oss se ett exempel på hanteringen av logaritmens egenskaper:
Hitta värdet på x i följande uttryck:
logg (5x +1) = 1 + logg (2x-1)
Vi har här en logaritmisk ekvation, eftersom det okända ligger i logaritmens argument. Det löses genom att lämna en enda logaritm på varje sida av jämställdheten.
Vi börjar med att placera alla termer som innehåller "x" till vänster om jämställdheten, och de som bara innehåller siffror till höger:
logg (5x + 1) - logg (2x-1) = 1
Till vänster har vi subtraheringen av två logaritmer, som kan skrivas som logaritmen för en kvot:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Men till höger är siffran 1, som vi kan uttrycka som logg 10, som vi såg tidigare. Sedan:
logg [(5x + 1) / (2x-1)] = logg 10
För att jämställdhet ska kunna uppfyllas, argument av logaritmerna måste vara lika:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
1957 inträffade en jordbävning i Mexiko vars styrka var 7,7 på Richters skala. 1960 inträffade ytterligare en jordbävning av större storlek i Chile, 9,5.
Beräkna hur många gånger jordbävningen i Chile var mer intensiv än den i Mexiko, med vetskap om att storleken MR på Richter-skalan ges den med formeln:
MR = logg (104 I)
Storleken på Richters skala av en jordbävning är en logaritmisk funktion. Vi ska beräkna intensiteten för varje jordbävning, eftersom vi har Richter-magnituderna. Låt oss göra det steg för steg:
-Mexiko: 7,7 = logg (104 I)
Eftersom det omvända av logaritmfunktionen är det exponentiella, tillämpar vi detta på båda sidor av jämlikheten med avsikt att lösa för I, vilket återfinns i logaritmens argument.
Eftersom de är decimala logaritmer är basen 10. Sedan:
10 7.7 = 104 Jag
Jordbävningens intensitet i Mexiko var:
JagM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-chili: 9,5 = logg (104 I)
Samma procedur tar oss till intensiteten i den chilenska jordbävningen ICh:
JagCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Nu kan vi jämföra båda intensiteterna:
JagCh / JagM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
JagCh = 63,1. JagM
Jordbävningen i Chile var cirka 63 gånger mer intensiv än den i Mexiko. Eftersom storleken är logaritmisk växer den långsammare än intensiteten, så en skillnad på 1 i storleken betyder en 10 gånger större amplitud av den seismiska vågen.
Skillnaden mellan storleksordningen för båda jordbävningarna är 1,8, därför kan vi förvänta oss en skillnad i intensiteter närmare 100 än till 10, som det faktiskt hände..
Om skillnaden hade varit exakt 2 hade den chilenska jordbävningen faktiskt varit 100 gånger mer intensiv än den mexikanska..
Ingen har kommenterat den här artikeln än.