De transcendenta funktioner Elementära är exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, inversa trigonometriska funktioner, hyperboliska och inversa hyperboliska. Det vill säga de är de som inte kan uttryckas med hjälp av ett polynom, en kvot av polynom eller rötter av polynom..
De icke-elementära transcendenta funktionerna är också kända som specialfunktioner och bland dem kan felfunktionen namnges. De algebraiska funktioner (polynom, kvot av polynom och rötter av polynom) tillsammans med transcendenta funktioner elementaler utgör det som i matematik kallas elementära funktioner.
Transcendenta funktioner anses också vara de som härrör från operationer mellan transcendenta funktioner eller mellan transcendenta och algebraiska funktioner. Dessa operationer är: summan och skillnaden mellan funktioner, produkt och kvot av funktioner, liksom sammansättningen av två eller flera funktioner.
Artikelindex
Det är en verklig funktion av verklig oberoende variabel i formen:
f (x) = a ^ x = ax
var till är ett positivt reellt tal (a> 0) fix kallas basen. Circflex eller superscript används för att beteckna den potentierande operationen.
Låt oss säga a = 2 då ser funktionen ut så här:
f (x) = 2 ^ x = 2x
Vilket kommer att utvärderas för flera värden för den oberoende variabeln x:
Nedan visas ett diagram där den exponentiella funktionen representeras för olika värden i basen, inklusive basen och (Niffernummer och ≃ 2,72). Bas och är så viktigt att vi i allmänhet tänker på när vi pratar om en exponentiell funktion e ^ x, vilket också betecknas exp (x).
Från figur 1 kan man se att domänen för exponentiella funktioner är de verkliga siffrorna (Dom f = R) och intervallet eller banan är de positiva realerna (Ran f = R+).
Å andra sidan, oavsett värdet på basen a, passerar alla exponentiella funktioner genom punkten (0, 1) och genom punkten (1, a).
När basen a> 1, då ökar funktionen och när 0 < a < 1 funktionen minskar.
Kurvor av y = a ^ x och av y = (1 / a) ^ x är symmetriska kring axeln Y.
Förutom fallet a = 1, den exponentiella funktionen är injektiv, det vill säga att varje bildvärde motsvarar ett och endast ett startvärde.
Det är en verklig funktion av verklig oberoende variabel baserat på definitionen av logaritmen för ett tal. Logaritmen att basera till av ett nummer x, Det är numret Y till vilken basen måste höjas för att få argumentet x:
loggatill(x) = y ⇔ a ^ y = x
Det är logaritmfunktion i basen till är den inversa funktionen av den exponentiella funktionen i basen till.
Till exempel:
loggatvå1 = 0, eftersom 2 ^ 0 = 1
Ett annat fall, loggatvå4 = 2, eftersom 2 ^ 2 = 4
Logaritmen till roten till 2 är logtvå√2 = ½, eftersom 2 ^ ½ = √2
loggatvå ¼ = -2, eftersom 2 ^ (- 2) = ¼
Nedan finns en graf över logaritmfunktionen i olika baser.
Logaritmfunktionens domän y (x) = loggtill(x) är de positiva reella siffrorna R+. Området eller intervallet är de verkliga siffrorna R.
Oavsett bas passerar logaritmfunktionen alltid genom punkten (1,0) och punkten (a, 1) tillhör grafen för denna funktion.
Om basen a är större än enhet (a> 1) ökar logaritmfunktionen. Men om (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.
Sinusfunktionen tilldelar ett reellt tal y till varje x-värde, där x representerar måttet på en vinkel i radianer. För att erhålla värdet på Sen (x) för en vinkel representeras vinkeln i enhetscirkeln och projiceringen av nämnda vinkel på den vertikala axeln är sinus motsvarande den vinkeln.
Följande visar (i figur 3) trigonometrisk cirkel och sinus för olika vinkelvärden X1, X2, X3 och X4.
Definierat på detta sätt är det maximala värdet som funktionen Sen (x) kan ha 1, vilket inträffar när x = π / 2 + 2π n, där n är ett heltal (0, ± 1, ± 2,). Det minsta värde som funktionen Sen (x) kan ta inträffar när x = 3π / 2 + 2π n.
Cosinusfunktionen y = Cos (x) definieras på ett liknande sätt, men projiceringen av vinkelpositionerna P1, P2, etc. utförs på den horisontella axeln för den trigonometriska cirkeln..
Å andra sidan är funktionen y = Tan (x) kvoten mellan sinusfunktionen och cosinusfunktionen.
Nedan är en graf över de transcendenta funktionerna Sen (x), Cos (x) och Tan (x)
Derivat Y ' av den exponentiella funktionen y = a ^ x är funktionen a ^ x multiplicerat med naturlig logaritm av bas a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
I det speciella fallet med basen och, derivatet av den exponentiella funktionen är själva den exponentiella funktionen.
Den obestämda integralen av a ^ x är själva funktionen dividerad med basens naturliga logaritm.
I det speciella fallet med basen e är integrationen av den exponentiella funktionen själva den exponentiella funktionen.
Nedan följer en sammanfattningstabell över de viktigaste transcendenta funktionerna, deras derivat och obestämda integraler (antiderivativ):
Hitta funktionen som härrör från sammansättningen av funktionen f (x) = x ^ 3 med funktionen g (x) = cos (x):
(f eller g) (x) = f (g (x)) = cos3(x)
Dess derivat och dess obestämda integral är:
Hitta kompositionen för funktionen g med funktionen f, där g och f är de funktioner som definierades i föregående exempel:
(g eller f) (x) = g (f (x)) = cos (x3)
Det bör noteras att sammansättningen av funktioner inte är en kommutativ operation.
Derivatet och den obestämda integralen för denna funktion är respektive:
Integralen lämnades kvar eftersom det inte går att skriva resultatet som en kombination av elementära funktioner exakt.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.