Biot-Savarts lagformel, demonstration, applikationer, övningar

3036
Alexander Pearson

De Biot-Savart lag etablerar ett förhållande mellan magnetfältet d vid en punkt P, producerad av en tunn tråd som bär en ström I och vars differentiella längd är ds. Denna lag används för att hitta magnetfältet för strömfördelningar med hjälp av princip för superposition

Detta innebär att för att beräkna det totala magnetfältet vid punkten P måste vi lägga till alla bidrag som varje differentiell del ds av ledningen bidrar. Och denna summa görs genom en integral som genomförs över hela strömfördelningen.

Figur 1. Ett trådsegment bär en ström i, som alstrar ett magnetfält vid en punkt P på ett visst avstånd från ledningen, vilket beräknas med hjälp av Biot-Savart-lagen. Källa: Bauer, W. Physics for Engineering and Sciences.

På detta sätt kan fältet som produceras av strömförande ledningar med olika geometrier beräknas..

Biot-Savart-lagen är uppkallad efter de två franska fysikerna som upptäckte den 1820: Jean Marie Biot (1774-1862) och Felix Savart (1791-1841). För att uppnå detta var de tvungna att studera intensiteten och formen på det magnetfält som produceras av många strömfördelningar..

Artikelindex

  • 1 Formel
    • 1.1 Vektorprodukten och högerregeln
  • 2 Bevis på Biot-Savarts lag
    • 2.1 Observationer av Biot och Savart
  • 3 Tillämpningar av Biot-Savart-lagen
    • 3.1 Rak och tunn tråd
  • 4 Övningen löst
    • 4.1 Lösning
  • 5 Referenser

Formel

Det matematiska uttrycket för Biot-Savart-lagen är som följer:

Den upprätthåller analogier med sin motsvarighet för att beräkna det elektriska fältet: Coulombs lag, bara att magnetfältet dB i P är vinkelrät till planet där tråden är. Vi kan se detta i figur 1.

Ovanstående uttryck kan också skrivas enligt följande:

I båda uttrycken, r är positionsvektorn, styrd från det aktuella elementet Ids till den punkt där du vill beräkna fältet.

För hans del, r med en vagn är enhetsvektorn som är riktad i samma riktning och mening, men med en modul lika med 1. Vektorn r representeras så här:

Förutom de nämnda vektorerna innehåller formeln konstanten μeller, ring upp vakuumpermeabilitet och vars värde är:

μeller = 4π x10-7 T.m / A.

Om vi ​​vill beräkna magnetfältvektorn är det nödvändigt att integrera över hela strömfördelningen, för vilken vi behöver data om dess geometri:

Korsprodukten och högerregeln

Biot-Savart-lagen innefattar en vektorprodukt mellan vektorerna Ids Y r. Resultatet av en vektorprodukt mellan två vektorer är också en vektor.

I detta fall är modulen för vektorprodukten Ids x r är: (Ids) ⋅r⋅senθ, där θ är vinkeln mellan Ids Y r, som visas i figur 1.

På detta sätt kan fältets storlek dB ges av:

Riktning och riktning kan bestämmas med högerhandregeln, illustrerad i denna figur:

Figur 2. Högerhandsregel för Biot-Savarts lag. Källa: Wikimedia Commons.

Vi uppmanar läsaren att placera sin högra hand efter vektorerna i figur 1 och 2. För figur 1 ska pekfingret peka åt vänster efter Ideller Idl, långfingret pekar enligt vektorn r enhetlig.

Och slutligen riktas tummen uppåt och detta är magnetfältets riktning.

Demonstration av Biot-Savart-lagen

Biot-Savart-lagen är i högsta grad experimentell till sin natur, vilket innebär att dess formulering kommer från många observationer om magnetfältets beteende som produceras av nuvarande ledningar..

Observationer av Biot och Savart

Detta var franska forskares observationer om magnetfältet dB:

-Storleken på dB är omvänt proportionell mot rtvå.

-Det är också direkt proportionellt mot storleken på det aktuella elementet, som kallas Ids och även att synda where, där θ är vinkeln mellan vektorerna ds Y r.

-dB är vinkelrätt mot båda Ids -riktningen för strömmen - till r.

-Riktningen på dB är tangentiellt för en radieomkrets r centrerad på tråden. Med andra ord består fältet B som produceras av ett aktuellt segment av cirklar koncentriska till tråden.

-Hur det snurrar B ges av regeln för höger tumme: höger tumme pekas i strömriktningen och de fyra återstående fingrarna lindas runt tråden efter cirkulationen i fältet.

Alla dessa observationer kombineras i det matematiska uttrycket för den tidigare beskrivna lagen.

Biot-Savart lagansökningar

När den nuvarande fördelningen har hög symmetri kan integralen lätt lösas, låt oss se några fall:

Rak och tunn tråd

En linjär tråd med längden L bär en ström I, som visas i figuren.

Det illustrerar geometrin som är nödvändig för att beräkna fältet. Detta är vinkelrätt mot pappersarket, som sticker ut från planet om strömmen flyter från vänster till höger och går in på annat sätt (kontrollera med högerhandregeln).

Figur 3. - Till vänster den geometri som krävs för att beräkna magnetfältet som alstrar ett tunt trådsegment vid punkt P. Till höger vinklarna som bestämmer positionen för P i förhållande till ändarna av segmentet. Källa: Serway, R. Physics for Science and Engineering.

Vara k  enhetsvektorn i riktningen vinkelrätt mot planet, efter att ha genomfört integrationsprocessen, är magnetfältet som tråden producerar vid P:

Den cirkulära cirkelslingan till bär en ström som visas i figuren och producerar ett magnetfält dB -i mörkgrön - vid punkt P på axiell axel, på avstånd x från centrum.

Figur 4. - Geometri för beräkning av fältet som produceras av den cirkulära slingan vid punkt P på den axiella axeln. Källa: Wikimedia Commons.

Ett annat aktuellt element som ligger på motsatt sida skulle ge ytterligare ett bidrag till fältet dB (ljusgrön), så att dess vertikala komponent avbryts med den första.

Resultatet är att nätmagnetfältet är horisontellt, så det integreras bara på dessa komponenter, vilket resulterar i:

Övningen löst

Du har en extremt lång kabel som bär en ström på 2A som strömmar som visas på bilden. Beräkna magnetfältets storlek på ett radiellt avstånd på 5 cm från ledningen.

Figur 5. - Magnetfältlinjer för ett linjärt trådsegment som bär ström. Källa: Wikimedia Commons.

Lösning

Eftersom det är en mycket lång tråd kan vi ta uttrycket för det rätlinjiga segmentet och göra θ1= 0º och θtvå = 180º för gränsvinklarna. Detta räcker så att trådens längd tenderar att vara oändlig..

På detta sätt har vi fältet är:

Nu ersätter vi värdena för uttalandet:

I = 2 A.

r = 5 x 10-två m

μeller= 4π x10-7 T.m / A

Referenser

  1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill.
  2. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Sciences and Engineering. Volym 6. Elektromagnetism. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
  3. Giancoli, D. 2006. Fysik: principer med tillämpningar. 6: e. Ed prentice hall.
  4. Resnick, R. 1999. Fysik. Vol. 1. 3: e upplagan på spanska. Compañía Editorial Continental S.A. av C.V.
  5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14: e. Utg. Volym 1.
  6. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 2. 7: e. Ed. Cengage Learning.

Ingen har kommenterat den här artikeln än.