De ungefärlig mätning av amorfa figurer består av en serie metoder som används för att bestämma ytan eller omkretsen av geometriska figurer som inte är trianglar, kvadrater, cirklar etc. Vissa är utdragbara till tredimensionella figurer.
I grund och botten består mätningen av att skapa ett rutnät med någon regelbunden form, såsom rektanglar, kvadrater eller trapetser, som ungefär täcker ytan. Precisionen för arean approximering erhållen med dessa metoder ökar med finheten eller densiteten hos gitteret..
Figur 1 och 2 visar olika amorfa figurer. För att beräkna ytan har ett rutnät gjorts, som består av 2 X 2 rutor, som i sin tur är indelade i tjugofem 2/5 x 2/5 rutor.
Om du adderar områdena i huvudfyrkantarna och de sekundära rutorna ger den ungefärliga ytan av den amorfa figuren.
Artikelindex
Det är ofta nödvändigt att grovt beräkna arean under en kurva mellan två gränsvärden. I detta fall, istället för ett kvadratiskt galler, kan rektangulära ränder dras som ungefär täcker ytan under nämnda kurva..
Summan av alla rektangulära ränder kallas summan eller Riemann-summan. Figur 3 visar en partition av intervallet [a, b] över vilken vi vill approximera arean under kurvan.
Antag att du vill beräkna området under kurvan som ges av funktionen y = f (x), där x tillhör intervallet [a, b] inom vilket du vill beräkna området. För detta görs en partition av n-element inom detta intervall:
Partition = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Därefter erhålls den ungefärliga ytan under kurvan som ges av y = f (x) i intervallet [a, b] genom att utföra följande summering:
S = ∑k = 1n medk) (xk - xk-1)
Där Tk är mellan xk-1 och xk: xk-1 ≤ tk ≤ xk .
Figur 3 visar grafiskt Riemann-summan av kurvan y = f (x) i intervallet [x0, x4]. I det här fallet gjordes en partition med fyra delintervaller och summan representerar det totala området för de grå rektanglarna.
Denna summa representerar en approximation till området under kurvan f mellan abscissan x = x0 och x = x4.
Approximationen till området under kurvan förbättras som antalet n av partitioner är större och tenderar att vara exakt området under kurvan när siffran n av partitioner tenderar till oändlighet.
Om kurvan representeras av en analytisk funktion, kommer värdena f (tk) beräknas genom att utvärdera denna funktion till t-värdenak. Men om kurvan inte har ett analytiskt uttryck kvarstår följande möjligheter:
Beroende på valet av värdet tk i intervallet [xk, xk-1] kan summan överskatta eller underskatta det exakta värdet av området under kurvan för funktionen y = f (x). Det mest tillrådliga är att ta den punkt tk där det saknade området är ungefär lika med överflödet, även om det inte alltid är möjligt att göra ett sådant val..
Det mest praktiska är då att använda regelbundna intervall med bredd Δx = (b - a) / n, där a och b är minimi- och maximivärdena för abscissan, medan n är antalet underavdelningar.
I så fall approximeras arean under kurvan med:
Area = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
I ovanstående uttryck togs tk i den högra änden av delintervallet.
En annan praktisk möjlighet är att ta värdet tk längst till vänster, i vilket fall summan som approximerar området uttrycks som:
Area = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Om tk väljs som det centrala värdet för det vanliga delintervallet för bredden Δx, är summan som approximerar ytan under kurvan:
Area = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Något av dessa uttryck tenderar att det exakta värdet i den utsträckning att antalet underavdelningar är godtyckligt stort, det vill säga att Δx tenderar att vara noll, men i det här fallet blir antalet termer i summeringen oerhört stort med den därav följande beräkningskostnaden.
Figur 2 visar en amorf figur, vars kontur liknar stenarna i bild 1. För att beräkna dess yta placeras den på ett rutnät med huvudfyrkanter på 2 x 2 kvadratenheter (de kan till exempel vara 2 cm²)..
Och eftersom varje kvadrat är indelat i 5 x 5 underavdelningar, har varje underavdelning en yta på 0,4 x 0,4 kvadratiska enheter (0,16 cm²).
Området i figuren skulle beräknas så här:
Area = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Nämligen:
Area = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Beräkna ungefär arean under kurvan som ges av funktionen f (x) = xtvå mellan a = -2 till b = +2. För att göra detta, skriv först summan för n vanliga partitioner av intervallet [a, b] och ta sedan den matematiska gränsen för det fall att antalet partitioner tenderar till oändlighet.
Först definierar du partitionernas intervall som
Ax = (b - a) / n.
Då ser rätt summa som motsvarar funktionen f (x) ut så här:
[-2 + (4i / n)]två = 4 - 16 i / n + (4 / n)två itvå
Och sedan ersätts det i summeringen:
Och det tredje resultatet:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ntvå
Att välja ett stort värde för n ger en bra approximation av området under kurvan. I det här fallet är det dock möjligt att få det exakta värdet genom att ta den matematiska gränsen när n tenderar till oändlighet:
Area = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ntvå]
Area = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.