De simpsons härskar är en metod för att på ungefärligt sätt beräkna bestämda integraler. Den bygger på att dela in integrationsintervallet i ett jämnt antal delintervall med jämnt mellanrum.
De extrema värdena för två på varandra följande delintervall definierar tre punkter, genom vilka en parabel, vars ekvation är en andra gradens polynom, passar.
Därefter approximeras arean under funktionens kurva under de två på varandra följande intervallen av området för interpolationspolynomet. Om vi lägger till bidraget till området under parabolen för alla på varandra följande delintervall, har vi det ungefärliga värdet av integralen.
Å andra sidan, eftersom integralen av en parabel kan beräknas algebraiskt exakt, är det möjligt att hitta en analytisk formel för det ungefärliga värdet för den bestämda integralen. Det är känt som Simpsons formel.
Felet i det ungefärliga resultatet som sålunda erhållits minskar när antalet underavdelningar n är större (där n är ett jämnt antal).
Ett uttryck kommer att ges nedan som gör det möjligt att uppskatta den övre gränsen för felet för approximationen till integralen I, när en partition av n regelbundna delintervaller av det totala intervallet har gjorts [a, b].
Artikelindex
Integrationsintervallet [a, b] är uppdelat i n delintervaller där n är ett jämnt heltal. Bredden på varje underavdelning kommer att vara:
h = (b - a) / n
På detta sätt görs partitionen i intervallet [a, b]:
X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn
Där X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
Formeln som gör det möjligt att på ungefärligt sätt beräkna den bestämda integralen I för den kontinuerliga, och helst jämna, funktionen på intervallet [a, b] är:
För att erhålla Simpsons formel, i varje delintervall [Xi, Xi + 2] approximeras funktionen f (X) av en andra gradens polynom p (X) (parabel) som passerar genom de tre punkterna: [Xi, f (Xi)] ; [Xi + 1, f (Xi + 1)] och [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Sedan beräknar vi integralen av polynomet p (x) i [Xi, Xi + 2] som approximerar integralen av funktionen f (X) i det intervallet.
Ekvationen för parabolen p (X) har den allmänna formen: p (X) = A Xtvå + B X + C. När parabolen passerar genom de punkter som anges i rött (se figur) bestäms koefficienterna A, B, C från följande ekvationssystem:
Ah)två - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
Ah)två + B h + C = f (Xi + 2)
Det kan ses att koefficienten C bestäms. För att bestämma koefficienten A lägger vi till den första och tredje ekvationen som erhåller:
2 A htvå + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Därefter ersätts värdet på C och A rensas och lämnar:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 htvå)
För att bestämma koefficienten B subtraheras den tredje ekvationen från den första och B löses, vilket ger:
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h.
Sammanfattningsvis har andra gradens polynom p (X) som passerar genom punkterna Qi, Qi + 1 och Qi + 2 koefficienter:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 htvå)
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h
C = f (Xi + 1)
Som redan nämnts, på det totala integrationsintervallet [a, b] görs en partition X0, X1, X2, ..., Xn-1, Xn med steg h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n , där n är ett jämnt tal.
Observera att felet minskar med den fjärde effekten av antalet underavdelningar i intervallet. Om du till exempel går från n underavdelningar till 2n minskar felet med en faktor 1/16.
Den övre gränsen för felet som erhållits genom Simpson-approximationen kan erhållas från samma formel och ersätter det fjärde derivatet med det maximala absoluta värdet för det fjärde derivatet i intervallet [a, b].
Betrakta funktionen funktionen f (X) = 1 / (1 + Xtvå).
Hitta den bestämda integralen av funktionen f (X) på intervallet [-1, 1] med Simpsons metod med två underavdelningar (n = 2).
Vi tar n = 2. Integrationsgränserna är a = -1 och b = -2, så partitionen ser ut så här:
X0 = -1; X1 = 0 och X2 = +1.
Därför har Simpsons formel följande form:
Med n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, därför:
Tänk på funktionen f (X) = 1 / (1 + Xtvå).
Hitta den bestämda integralen av funktionen f (X) i intervallet [-1, 1] med Simpsons formel med fyra underavdelningar (n = 4).
Vi tar n = 4. Integrationsgränserna är a = -1 och b = -2, så partitionen ser ut så här:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 och X4 = +1.
Simpsons formel anges så här:
Integrerad ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
För det fall där det tillämpas är det följande:
Integral ≃ (1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)
Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
Bestäm den bestämda integralen av de tidigare exemplen exakt och gör en jämförelse av det exakta resultatet med de som erhållits med Simpsons formel i exempel 1a och 1b.
Den obestämda integralen av funktionen f (X) = 1 / (1 + Xtvå) är funktionen arctan (X).
Vid utvärdering inom integrationsgränserna förblir det:
Integral = arctan (1) - arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1,5708
Om vi jämför resultatet av den exakta lösningen med den som erhållits med Simpsons metod med n = 2 och n = 4, har vi:
För n = 2 är skillnaden mellan den exakta och den ungefärliga lösningen π / 2 - 5/3 = -0,0959, det vill säga en procentuell skillnad på -0,06%.
Och för Simpson-approximationen med n = 4 är skillnaden mellan den exakta och den ungefärliga lösningen π / 2 - 47/30 = 0,0041, det vill säga en procentuell skillnad på 0,003%.
Simpsons metod är lämplig att användas i programmeringsspråk och i datorprogram för matematiska beräkningar. Det föreslås att läsaren, baserat på formlerna i den här artikeln, skriver sin egen kod i sitt favoritprogram.
Följande bild visar en övning där Simpsons formel har implementerats i Smath-studio, gratis programvara tillgänglig för operativsystem Windows Y Android.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.