Två punkter A och A har central symmetri med avseende på en punkt O när segmentet AA 'passerar genom det och också är mittpunkten för AA'. Punkt O kallas centrum för symmetri.
Den centrala symmetriken för en triangel ABC med avseende på en punkt O är en annan triangel A'B'C 'som har följande egenskaper:
-Homologa segment är lika långa
-Deras motsvarande vinklar har samma mått.
I figur 1 kan du se en triangel ABC (röd) och dess centrala symmetri A'B'C '(grön), i förhållande till centrum för symmetri O.
I samma figur skulle en uppmärksam observatör inse att samma resultat erhålls genom att applicera en rotation av den ursprungliga triangeln, så länge den är 180 ° och är centrerad i O.
Därför är en central symmetri ekvivalent med en 180 ° sväng i förhållande till symmetrins centrum.
Artikelindex
En central symmetri har följande egenskaper:
-Symmetriens centrum är mittpunkten för det segment som sammanfogar en punkt med sin symmetri.
-En symmetrisk punkt för en annan som ligger i symmetriens centrum sammanfaller med centrum för symmetri.
-Den centrala symmetriken för en triangel är en triangel som är kongruent (lika) med originalet.
-Bilden med central symmetri av en cirkel är en annan cirkel med lika radie.
-En cirkel har central symmetri om sitt eget centrum.
-Ellipsen har central symmetri kring sitt centrum.
-Ett segment har central symmetri kring mittpunkten.
-Den liksidiga triangeln har ingen central symmetri med avseende på dess centrum, eftersom dess symmetri, även om den är kongruent med den första, ger en roterad liksidig triangel.
-Kvadrater har central symmetri kring sitt centrum.
-En femkant saknar central symmetri kring sitt centrum.
-Vanliga polygoner har central symmetri när de har ett jämnt antal sidor.
Symmetri kriterier har många tillämpningar inom vetenskap och teknik. Central symmetri finns i naturen, till exempel iskristaller och spindelnät har denna typ av symmetri.
Dessutom löses många problem lätt när man utnyttjar förekomsten av central symmetri och andra typer av symmetri. Därför är det bekvämt att snabbt identifiera när det inträffar.
Med tanke på en punkt P av koordinater (a, b) måste vi hitta koordinaterna för dess symmetriska P 'med avseende på koordinaternas ursprung O (0, 0).
Det första är att konstruera punkten P ', för vilken en linje dras som passerar genom ursprunget O och genom punkten P. Ekvationen för nämnda linje är y = (b / a) x.
Låt oss nu kalla (a ', b') koordinaterna för den symmetriska punkten P '. Punkt P 'måste ligga på linjen som passerar O och därför är det sant: b' = (b / a) a '. Vidare måste avståndet OP vara lika med OP ', vilket i analytisk form skrivs så här:
√ (tilltvå + btvå) = √ (a 'två + b 'två )
Följande är att ersätta b '= [(b / a) .a'] i ovanstående uttryck och kvadrera båda sidor av likheten för att eliminera kvadratroten: (atvå + btvå) = [a 'två + (btvå/tilltvå).till'två]
Genom att extrahera gemensam faktor och förenkla får vi atttvå = atvå. Denna ekvation har två verkliga lösningar: a '= + a eller a' = -a.
För att få b 'använder vi igen b' = (b / a) a '. Om den positiva lösningen av a 'ersätts kommer vi till det b' = b. Och när den negativa lösningen ersätts, då är b '= -b.
Den positiva lösningen ger för P 'samma punkt P, så den kasseras. Den negativa lösningen ger definitivt koordinaterna för den symmetriska punkten:
P ': (-a, -b)
Det krävs att ett segment AB och dess centrala symmetriska A'B 'har samma längd.
Från och med koordinaterna för punkt A, vilka är (Ax, Ay) och de för punkt B: (Bx, By), ges längden på segment AB av:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)två + (Av - Ay)två )
Analogiskt kommer det symmetriska segmentet A'B 'att ha längden angiven av:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')två + (Av '- Ay')två )
Koordinaterna för den symmetriska punkten A 'är Ax' = -Ax och Ay '= -Ay. På samma sätt är de för B 'Bx' = -Bx och By '= -By. Om dessa koordinater är ersatta i ekvationen för avståndet d (A'B ') har vi:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)två + (-By + Ay)två) vilket motsvarar:
√ ((Bx - Ax)två + (Av - Ay)två) = d (AB)
Således visas att båda segmenten har samma längd.
Visa analytiskt att den centrala symmetriska O i en cirkel med radie R och centrum O är samma originalcirkel.
Ekvationen för en cirkel med radien R och centrum O (0,0) är:
xtvå + Ytvå = Rtvå (Ekvation av omkrets C)
Om vid varje punkt P för omkretsens y-koordinater (x, y) dess symmetriska P 'för koordinaterna (x', y ') hittas, är ekvationen för den symmetriska omkretsen:
x 'två + Y 'två = Rtvå (Ekvation av den symmetriska cirkeln C ')
Nu hänvisar vi till resultatet från exempel 1, där man drar slutsatsen att koordinaterna för en punkt P ', symmetrisk till P och med koordinater (a, b), är (-a, -b).
Men i denna övning har punkt P koordinater (x, y), så dess symmetriska P 'kommer att ha koordinater x' = -x och y '= -y. Genom att ersätta detta i ekvationen för den symmetriska cirkeln har vi:
(-x)två + (-Y)två = Rtvå
Vilket motsvarar: xtvå+ Ytvå = Rtvå, slutsatsen att en cirkels centralsymmetri med avseende på dess centrum är själva omkretsen.
Visa geometriskt att central symmetri bevarar vinklar.
Det finns tre punkter A, B och C på planet. Dess symmetri A ', B' och C 'är konstruerade med avseende på centrum för symmetri O, som visas i figur 4.
Nu måste vi visa att vinkeln ∡ABC = β har samma mått som vinkeln ∡A'B'C '= β'.
Eftersom C och C 'är symmetriska, då OC = OC'. På samma sätt är OB = OB 'och OA = OA'. Å andra sidan är vinkeln ∡BOC = ∡B'OC 'eftersom de är motsatta av toppunkten.
Då är trianglarna BOC och B'OC 'kongruenta eftersom de har en lika vinkel mellan två lika sidor.
Eftersom BOC är kongruent till B'OC 'så är vinklarna γ Y γ ' De är lika. Men dessa vinklar, förutom att uppfylla γ = γ ' är interna alterneringar mellan linjerna BC och B'C 'vilket innebär att linjen BC är parallell med B'C'.
På samma sätt är BOA kongruent till B'OA 'från vilken det följer att α = α ' . Men a Y a ' är alternerande inre vinklar mellan linjerna BA och B'A ', varifrån man drar slutsatsen att linjen BA är parallell med B'A'.
Eftersom vinkeln ∡ABC = β har sina sidor parallella med vinkeln ∡A'B'C '= β' och båda är spetsiga dras slutsatsen att:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Bevisar på detta sätt att den centrala symmetrin bevarar måtten på vinklarna.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.