De binomiell teorem är en ekvation som berättar hur vi kan utveckla ett uttryck för formen (a + b)n för något naturligt nummer n. En binomial är inget annat än summan av två element, som (a + b). Det låter oss också veta för en period som ges av akbn-k vad är koefficienten som medföljer den.
Denna teorem tillskrivs vanligtvis den engelska uppfinnaren, fysikern och matematikern Sir Isaac Newton; Emellertid har olika register hittats som tyder på att dess existens redan var känd i Mellanöstern, omkring år 1000.
Artikelindex
Binomialsatsen berättar matematiskt för oss följande:
I detta uttryck är a och b reella tal och n är ett naturligt tal.
Innan vi ger demo, låt oss titta på några grundläggande begrepp som är nödvändiga.
Kombinationstalet eller kombinationerna av n i k uttrycks enligt följande:
Denna form uttrycker värdet på hur många delmängder med k-element som kan väljas från en uppsättning n-element. Dess algebraiska uttryck ges av:
Låt oss se ett exempel: antar att vi har en grupp på sju bollar, varav två är röda och resten är blå..
Vi vill veta hur många sätt vi kan ordna dem i rad. Ett sätt kan vara att placera de två röda i första och andra positionen och resten av bollarna i de positioner som finns kvar..
I likhet med föregående fall kan vi ge de röda bollarna den första respektive sista positionen och ockupera de andra med blå bollar.
Nu är ett effektivt sätt att räkna hur många sätt vi kan ordna bollarna i rad med hjälp av kombinatoriska siffror. Vi kan se varje position som ett element i följande uppsättning:
Sedan återstår bara att välja en delmängd av två element, där vart och ett av dessa element representerar den position som de röda kulorna kommer att inta. Vi kan göra detta val enligt förhållandet från:
På detta sätt har vi att det finns 21 sätt att beställa dessa bollar.
Den allmänna idén med detta exempel kommer att vara mycket användbar för att bevisa binomialsatsen. Låt oss titta på ett visst fall: om n = 4 har vi (a + b)4, vilket är inget annat än:
När vi utvecklar den här produkten sitter vi kvar med summan av termerna som erhålls genom att multiplicera ett element av var och en av de fyra faktorerna (a + b). Således kommer vi att ha termer som kommer att ha formen:
Om vi ville få termen från formuläret a4, multiplicera bara enligt följande:
Observera att det bara finns ett sätt att få detta element; men vad händer om vi nu letar efter termen för formuläret atvåbtvå? Eftersom “a” och “b” är reella tal och därför är kommutativ lag giltig, har vi att ett sätt att få denna term är att multiplicera med medlemmarna enligt pilarna.
Att utföra alla dessa operationer är vanligtvis något tråkigt, men om vi ser termen "a" som en kombination där vi vill veta hur många sätt vi kan välja två "a" från en uppsättning av fyra faktorer kan vi använda idén från föregående exempel. Så vi har följande:
Således vet vi att i den slutliga expansionen av uttrycket (a + b)4 vi kommer att ha exakt 6atvåbtvå. Med samma idé för de andra elementen måste du:
Sedan lägger vi till de uttryck som erhållits tidigare och vi har det:
Det är ett formellt bevis för det allmänna fallet där "n" är något naturligt tal.
Observera att villkoren som finns kvar när du utvecklar (a + b)n De har formen akbn-k, där k = 0,1,…, n. Med hjälp av idén i föregående exempel har vi sättet att välja "k" -variabler "a" av "n" -faktorerna är:
Genom att välja på detta sätt väljer vi automatiskt n-k-variabler "b". Av detta följer att:
Med tanke på (a + b)5, Vad skulle din utveckling vara?
Genom binomialsatsen har vi:
Binomialsatsen är mycket användbar om vi har ett uttryck där vi vill veta koefficienten för en specifik term utan att behöva göra hela expansionen. Som ett exempel kan vi ta följande okända: vad är koefficienten för x7Y9 i expansionen av (x + y)16?
Enligt binomialsatsen har vi att koefficienten är:
Ett annat exempel skulle vara: vad är koefficienten för x5Y8 i utvecklingen av (3x-7y)13?
Först skriver vi om uttrycket på ett bekvämt sätt; detta är:
Sedan använder vi binomialsatsen att den sökta koefficienten är när vi har k = 5
Ett annat exempel på användningen av denna teorem är att bevisa några vanliga identiteter, såsom de som vi kommer att nämna nedan.
Om "n" är ett naturligt tal har vi:
För beviset använder vi binomialsatsen, där både "a" och "b" tar värdet av 1. Sedan har vi:
På detta sätt har vi bevisat den första identiteten.
Om "n" är ett naturligt tal, då
Med binomialsatsen har vi:
Vi kan göra ett annat bevis för binomialsatsen med hjälp av den induktiva metoden och Pascals identitet, som säger att om “n” och “k” är positiva heltal som uppfyller n ≥ k, då:
Låt oss först se att den induktiva basen håller. Om n = 1 har vi:
Vi ser faktiskt att det är uppfyllt. Låt nu n = j så att:
Vi vill se att för n = j + 1 är det sant att:
Så vi måste:
Av hypotesen vet vi att:
Använd sedan den fördelande egenskapen:
Därefter har vi utvecklat var och en av summeringarna:
Om vi nu grupperar på ett bekvämt sätt har vi det:
Med hjälp av Pascals identitet har vi:
Slutligen notera att:
Därför ser vi att binomialsatsen gäller för alla "n" som tillhör de naturliga siffrorna, och med detta slutar beviset.
Kombinationstalet (nk) kallas också binomialkoefficienten eftersom det är just koefficienten som visas i binomialens utveckling (a + b)n.
Isaac Newton gav en generalisering av denna sats för fallet där exponenten är ett verkligt tal; denna sats är känd som Newtons binomiella sats.
Redan i antiken var detta resultat känt för det speciella fall där n = 2. Detta fall nämns i Element av Euclid.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.