De Fouriertransform är en metod för analytisk adekvat orienterad mot integrerbara funktioner som tillhör familjen tintegrerad omvandlad. Den består av en omdefiniering av funktioner F (t) i termer av Cos (t) och Sen (t).
De trigonometriska identiteterna för dessa funktioner, tillsammans med deras härlednings- och antideriveringsegenskaper, tjänar till att definiera Fourier-transformen genom följande komplexa funktion:
Vilket är sant så länge uttrycket är vettigt, det vill säga när den felaktiga integralen är konvergent. Algebraiskt sägs Fouriertransformen vara en linjär homeomorfism.
Varje funktion som kan arbetas med en Fourier-transform måste presentera null utanför en definierad parameter.
Artikelindex
Fourier-transformen uppfyller följande egenskaper:
För att verifiera existensen av Fouriertransformationen i en funktion f (t) definierad i realerna R, följande två axiomer måste vara uppfyllda:
Låt M (t) och N (t) vara två funktioner med bestämda Fourier-transformationer, med alla konstanter a och b.
F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [NT Z)
Vilket stöds också av linjären hos integralen med samma namn.
Den har en funktion F som är kontinuerlig och integrerbar i alla realer, där:
Och derivatet av f (f ') är kontinuerlig och definieras bitvis R
Fouriertransformationen av ett derivat definieras av integrering av delar, genom följande uttryck:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
I högre ordensledningar kommer den att tillämpas på ett homologt sätt, där för alla n 1 har vi:
F [f n'(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Den har en funktion F som är kontinuerlig och integrerbar i alla realer, där:
i (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
För alla θ som tillhör en uppsättning S och T som tillhör uppsättningen S ', har vi:
F [ τtill θ] = och-iay F [ θ] F [ τtillT ] = och-iax F [ T]
Med τtill arbetar som översättningsoperatör på vektorn a.
För alla θ som tillhör en uppsättning S och T som tillhör uppsättningen S ', har vi:
τtill F [θ] = F [och-iax.θ] τtill MED ] = F [och-iay . T]
För alla till som tillhör R
För alla θ som tillhör en uppsättning S. T som tillhör uppsättningen S '
λ tillhör R - 0 du måste:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / A)
Ja F är en kontinuerlig och tydligt integrerbar funktion, där a> 0. Sedan:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
För att visa detta resultat kan vi fortsätta med ändringen av variabeln.
När T → + sedan s = vid → + ∞
När T → - då s = vid → - ∞
För att studera symmetrin för Fourier-transformen måste Parsevals identitet och Plancherel-formeln verifieras.
Vi har θ och δ som tillhör S. Därifrån kan man dra slutsatsen att:
Kommer
1 / (2π)d F [θ ], F [5] Parsevals identitet
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LtvåRd Plancherel formel
För att uppnå liknande mål som i Laplace-transformen hänför sig funktionsklyvning till produkten mellan deras Fourier-transformer.
Vi har f och g som 2 begränsade, bestämda och helt integrerbara funktioner:
F (f * g) = F (f). F (g)
Sedan när du ändrar variabeln
t + s = x; det fortsätter med den felaktiga dubbla integralen
F (f). F (g) = F (f. G)
För alla θ som tillhör R, F [ θ] följer kriterierna för en kontinuerlig funktion avgränsad i Rd.
Också F [ θ] (y) → 0 i C om | y | → ∞
Detta matematiska koncept presenterades av Joseph B. Fourier 1811 medan han utvecklade en avhandling om värmespridning. Det antogs snabbt av olika grenar av vetenskap och teknik.
Det etablerades som det huvudsakliga arbetsverktyget i studien av ekvationer med partiella derivat, även jämföra det med det befintliga arbetsförhållandet mellan Laplace-transformation och vanliga differentialekvationer.
Den tjänar främst till att väsentligt förenkla ekvationer, samtidigt som härledda uttryck omvandlas till kraftelement, vilket betecknar differentiella uttryck i form av integrerbara polynom..
Vid optimering, modulering och modellering av resultat fungerar det som ett standardiserat uttryck och är en frekvent resurs för teknik efter flera generationer.
De är serier definierade i termer av Cosines och Sines; De tjänar till att underlätta arbete med allmänna periodiska funktioner. När de används är de en del av teknikerna för att lösa vanliga och partiella differentialekvationer..
Fourier-serien är ännu mer generella än Taylor-serien, eftersom de utvecklar periodiska diskontinuerliga funktioner som inte har en Taylor-serierepresentation..
För att förstå Fourier-transformationen analytiskt är det viktigt att granska de andra sätten på vilka Fourier-serien kan hittas tills vi kan definiera Fourier-serien i dess komplexa notation.
Många gånger är det nödvändigt att anpassa strukturen för en Fourier-serie till periodiska funktioner vars period är p = 2L> 0 i intervallet [-L, L].
Intervallet [-π, π] beaktas, vilket ger fördelar när man utnyttjar funktionernas symmetriska egenskaper.
Om f är jämnt etableras Fourier-serien som en serie Cosines.
Om f är udda etableras Fourier-serien som en serie Sines.
Om vi har en funktion f (t), som uppfyller alla utvecklingsbarhetskrav i Fourier-serien, är det möjligt att beteckna den i intervallet [-t, t] med dess komplexa notation:
Fouriertransformationen är ett kraftfullt verktyg i studien av partiella differentialekvationer av linjär typ med konstanta koefficienter. De gäller för funktioner med obegränsade domäner lika.
Liksom Laplace-transformen förvandlar Fourier-transformen en partiell derivatfunktion till en vanlig differentialekvation som är mycket enklare att använda..
Cauchy-problemet för värmeekvationen presenterar ett fält med frekvent tillämpning av Fourier-transform där funktionen genereras värmekärna eller Dirichlet-kärna.
När det gäller beräkningen av den grundläggande lösningen presenteras följande fall där det är vanligt att hitta Fourier-transformationen:
-Laplace-ekvation
-Värmeekvation
-Schrödinger ekvation
-Vågekvation
Den allmänna orsaken till tillämpningen av Fourier-transformen i denna gren beror främst på den karakteristiska nedbrytningen av en signal som en oändlig överlagring av lättare behandlingsbara signaler.
Det kan vara en ljudvåg eller en elektromagnetisk våg, Fourier-transformen uttrycker den i en superposition av enkla vågor. Denna framställning är ganska frekvent inom elektroteknik.
Å andra sidan finns det exempel på tillämpningen av Fourier-transformen inom signalteori:
-Systemidentifieringsproblem. Etablerat f och g
-Utgångssignalens konsistensproblem
-Problem med signalfiltrering
Definiera Fourier-transformationen för följande uttryck:
Vi kan också representera det på följande sätt:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
Den rektangulära pulsen definieras:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
Fourier-transformen tillämpas på följande uttryck som liknar moduleringssatsen.
f (t) = p (t) Sen (t)
Var: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Och Fourier-transformen definieras av:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definiera Fourier-transformen för uttrycket:
Eftersom f (h) är en jämn funktion kan det konstateras att
Integrering av delar tillämpas genom att välja variablerna och deras skillnader enligt följande
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)två v = (e-h)två / två
Att ersätta du har
Efter utvärdering enligt den grundläggande satsen för kalkyl
Genom att använda förkunskaper om första ordningens differenti ekvationer betecknas uttrycket som
För att få K utvärderar vi
Slutligen definieras Fourier-transformen av uttrycket som
Ingen har kommenterat den här artikeln än.