A vektor i rymden representeras av ett koordinatsystem som ges av x, Y Y z. Nästan alltid planet xy är planet för den horisontella ytan och axeln z representerar höjd (eller djup).
De kartesiska koordinataxlarna som visas i figur 1 delar upp utrymme i åtta regioner som kallas oktanter, analogt med hur axlar x - Y dela upp planet i fyra kvadranter. Vi kommer då att ha 1 oktant, 2 octant och så vidare.
Figur 1 innehåller en representation av en vektor v i rymden. Viss perspektiv krävs för att skapa en illusion av tre dimensioner på skärmplanet, vilket uppnås genom att rita en sned vy.
För att rita en 3D-vektor använder du de prickade linjerna som bestämmer koordinaterna för projektionen eller "skuggan" på rutnätet. v Över ytan x-y. Denna projektion börjar vid O och slutar vid den gröna punkten.
Väl där måste du fortsätta längs vertikalen till nödvändig höjd (eller djup) enligt värdet på z, tills den når P. Vektorn ritas med början från O och slutar vid P, vilket i exemplet är i 1: a oktanten.
Artikelindex
Vektorer i rymden används ofta inom mekanik och andra grenar inom fysik och teknik, eftersom strukturerna som omger oss kräver geometri i tre dimensioner..
Positionsvektorer i rymden används för att positionera objekt relativt en referenspunkt som kallas källa O. Därför är de också nödvändiga verktyg för navigering, men det är inte allt.
Krafter som verkar på strukturer som bultar, fästen, kablar, stag med mera är vektor till sin natur och orienterade i rymden. För att känna till dess effekt är det nödvändigt att känna till dess adress (och dess tillämpningspunkt).
Och ofta är styrkan känd genom att känna till två punkter i rymden som tillhör dess handlingslinje. På detta sätt är kraften:
F = F eller
Där F är storleken eller modulen för kraften och eller är enhetsvektorn (av modul 1) riktad längs handlingslinjen för F.
Innan vi fortsätter att lösa några exempel kommer vi att kort granska 3D-vektornotation.
I exemplet i figur 1 har vektorn v, vars ursprungspunkt sammanfaller med ursprunget O och vars ände är punkten P, har koordinater x Y z positivt, medan koordinaten Y är negativ. Dessa koordinater är: x1, Y1, z1, som är exakt koordinaterna för P.
Så om vi har en vektor kopplad till ursprunget, det vill säga vars utgångspunkt sammanfaller med O, är det väldigt enkelt att ange dess koordinater, vilka kommer att vara de som ligger vid den extrema punkten eller P. För att skilja mellan en punkt och en vektor, vi kommer att använda de sista djärva bokstäverna och parenteserna så här:
v = < x1, Y1, z1 >
Medan punkt P betecknas med parenteser:
P = (x1, Y1, z1)
En annan framställning använder enhetsvektorer i, j Y k som definierar de tre rymdriktningarna på axlarna x, Y Y z respektive.
Dessa vektorer är vinkelräta mot varandra och bildar a ortonormal bas (se figur 2). Detta innebär att en 3D-vektor kan skrivas i termer av dem som:
v = vx i + vY j + vz k
Figur 2 visar också direktvinklarna γ1, γtvå och γ3 än vektor v gör respektive med axlarna x, Y Y z. Att känna till dessa vinklar och storleken på vektorn är helt bestämd. Dessutom möter regissörens vinklar följande förhållande:
(cos γ1)två + (cos γtvå)två + (cos γ3)två = 1
I figur 2 är vinklarna γ1, γtvå och γ3 än vektor v av modul 50-form med koordinataxlarna är: 75.0º, 60.0º och 34.3º. Hitta de kartesiska komponenterna i denna vektor och representera den i termer av enhetsvektorerna i, j Y k.
Vektorprojektion v på axeln x är Vx = 50. cos 75º = 12,941. På samma sätt är projiceringen av v på axeln Y är VY = 50 cos 60 º = 25 och slutligen på axeln z är Vz = 50. cos 34,3º = 41,3. Nu v kan uttryckas som:
v = 12,9 i + 25,0 j + 41.3 k
Hitta spänningarna i var och en av kablarna som håller skopan i figuren som är i jämvikt, om dess vikt är 30 N.
På hinken indikerar frikroppsdiagrammet det TD (grön) förskjuter vikten W (gul), därför TD = W = 30 N..
I knuten, vektorn TD riktas vertikalt nedåt, sedan:
TD = 30 (-k) N.
Följ dessa steg för att fastställa de återstående spänningarna:
A = (4,5,0,3) (A ligger på väggplanet x-z)
B = (1,5,0,0) (B är på x-axeln)
C = (0, 2,5, 3) (C ligger på väggplanet och Z)
D = (1,5, 1,5, 0) (D är i horisontalplanet x-y)
GE = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5 ; 0>
En enhetsvektor erhålls genom uttrycket: eller = r / r, med r (i fetstil) är vektorn och r (inte i fetstil) som modulen för nämnda vektor.
DA = (3två + (-1,5)två + 3två)½ = 4,5; DC = ((-1,5) två + 1två + 3två)½ = 3,5
ellerGE = <3; -1.5; 3>4,5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>
ellerDC = <-1.5; 1; 3>3,5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
ellerDB = <0; -1; 0>
ellerD = <0; 0; -1>
TGE = TGer ellerGer = TGE<0.67 ; -0.33 ; 0.67>
TDC = TDC ellerDC = TDC <-0.43; 0.29; 0.86>
TDB = TDB ellerDB = TDB <0; -1; 0>
TD = 30 <0; 0; -1>
Slutligen tillämpas tillståndet för statisk jämvikt på skopan, så att vektorsumman av alla krafter på noden är noll:
TGE + TDC + TDB + TD = 0
Eftersom spänningarna är i rymden kommer det att resultera i ett system med tre ekvationer för varje komponent (x, och och z) av spänningarna.
0,67 TGer -0,43 TDC + 0 TDB = 0
-0,33 TGer + 0,29 TDC - TDB = 0
0,67 TGE + 0,86 TDC +0 TDB - 30 = 0
Lösningen är: TGer = 14,9 N; TGer = 23,3 N; TDB = 1,82 N
Ingen har kommenterat den här artikeln än.