De areolär hastighet är området svept per tidsenhet och är konstant. Den är specifik för varje planet och härrör från beskrivningen av Keplers andra lag i matematisk form. I den här artikeln kommer vi att förklara vad det är och hur det beräknas.
Bommen som representerar upptäckten av planeter utanför solsystemet har återupplivat intresset för planetens rörelse. Ingenting tyder på att dessa exoplaneter följer andra lagar än de som redan är kända och giltiga i solsystemet: Keplers lagar..
Johannes Kepler var astronomen som utan hjälp av teleskopet och med hjälp av observationerna från sin mentor Tycho Brahe skapade en matematisk modell som beskriver planeternas rörelse runt solen..
Han lämnade denna modell förkroppsligad i de tre lagar som bär hans namn och som förblir lika giltiga idag som 1609, då han etablerade de två första och 1618, det datum då han förkunnade den tredje..
Artikelindex
I dagens språk talar Keplers tre lagar så här:
1. Banorna på alla planeter är elliptiska och solen är i fokus.
2. Positionsvektorn från solen till en planet sveper lika stora områden på lika tid.
3. Kvadraten för planetens omloppsperiod är proportionell mot kuben för den beskrivna ellipsens halvhuvudaxel..
En planet kommer att ha en linjär hastighet, precis som alla kända rörliga objekt. Och det finns ännu mer: när man skriver Keplers andra lag i matematisk form uppstår ett nytt koncept som kallas areolär hastighet, typiskt för varje planet..
Jorden och de andra planeterna rör sig runt solen tack vare det faktum att den utövar en kraft på dem: gravitationens attraktion. Detsamma händer med alla andra stjärnor och planeterna som utgör dess system, om den har dem..
Detta är en kraft av den typ som kallas en central kraft. Vikt är en central kraft som alla känner till. Föremålet som utövar den centrala kraften, vare sig det är solen eller en avlägsen stjärna, lockar planeterna mot dess centrum och de rör sig i en sluten kurva.
I princip kan denna kurva approximeras som en omkrets, liksom Nicolás Copernicus, en polsk astronom som skapade den heliocentriska teorin..
Den ansvariga kraften är gravitationens attraktion. Denna kraft beror direkt på stjärnans massor och planeten i fråga och är omvänt proportionell mot kvadratet på avståndet som skiljer dem..
Problemet är inte så enkelt, för i ett solsystem interagerar alla element på detta sätt, vilket ger komplexiteten i saken. Dessutom är de inte partiklar, eftersom stjärnor och planeter har mätbar storlek..
Av denna anledning är den centrala punkten i banan eller kretsen som planeterna färdas inte exakt centrerad på stjärnan, utan vid en punkt som kallas sol-planetsystemets tyngdpunkt..
Den resulterande banan är elliptisk. Följande bild visar den och tar jorden och solen som ett exempel:
Aphelion är den längsta positionen på jorden från solen, medan periheliet är den närmaste punkten. Ellipsen kan vara mer eller mindre platt, beroende på egenskaperna hos stjärnplanetsystemet..
Aphelion och perihelion värden varierar årligen, eftersom de andra planeterna orsakar störningar. För andra planeter kallas dessa positioner apoaster respektive periaster..
Kepler upptäckte att när en planet kretsar kring solen, sveper den upp under samma rörelse under lika tid. Figur 2 visar grafiskt innebörden av detta:
Matematiskt är det faktum att A1 vara lika med Atvå uttrycks så här:
Bågarna som reste Δs är små, så att varje område kan approximera det för en triangel:
Eftersom Δs =vΔt, där v är planetens linjära hastighet vid en given punkt, genom att ersätta har vi:
Och eftersom tidsintervallet Δt är detsamma får vi:
Som rtvå > r1, sedan v1 > vtvå, med andra ord är planetens linjära hastighet inte konstant. I själva verket går jorden snabbare när den är i perihel än när den befinner sig i aphelion..
Därför är den linjära hastigheten på jorden eller någon planet runt solen inte en storlek som tjänar till att karakterisera planets rörelse..
Keplers andra lag antyder en ny storlek som kallas areolär hastighet. Det definieras som området som sveps per tidsenhet och är konstant. För att beräkna den används följande figur:
Ett litet område svept av jorden väljs när man gör sin elliptiska krets, som vi kommer att beteckna som ΔA. Den tid som krävs för detta är Δt.
Figur 3 visar jordens positionsvektor i förhållande till solen, betecknad med r. När jorden rör sig upplever den en förskjutning Ar.
Detta område motsvarar halva arean av rektangeln som visas i figur 3:
Kvoten Δr / Δt är exakt jordens linjära hastighet, så areolärhastigheten är som:
Enheterna i vTILL i det internationella systemet är de:
Observera att även om både r och v varierar, förblir produkten konstant. Detta gör areolärhastigheten till en mycket tillräcklig storlek för att karakterisera rörelsen hos en planet runt sin stjärna..
Produkten av r och v är storleken på vinkelmomentet L, så att areolär hastighet kan uttryckas som:
Med följande exempel visar vi hur man beräknar areolär hastighet när vissa parametrar för planetrörelse är kända:
En exoplanet rör sig runt solen efter en elliptisk bana, enligt Keplers lagar. När den är i periastern är dess radievektor r1 = 4 107 km, och när det är i apoastro är det rtvå = 15 107 km. Den linjära hastigheten vid dess periaster är v1 = 1000 km / s.
Beräkna:
A) Storleken på hastigheten vid apoastro.
B) Exo-planetens areolära hastighet.
C) Längden på ellipsens halvhuvudaxel.
Ekvationen används:
där numeriska värden är substituerade.
Varje term identifieras enligt följande:
v1 = hastighet i apoastro; vtvå = hastighet i periastern; r1= avstånd från apoastro,
rtvå= avstånd från periastern.
Med dessa värden får du:
Ekvationen att använda är
i vilket paret värden r och v för periastern eller apoastern kan ersättas, eftersom vTILL är en konstant av planeten:
Svar C)
Längden på ellipsens halvhuvudaxel är halvsummet för apoaster och periaster:
Ingen har kommenterat den här artikeln än.