De konstant integration Det är ett mervärde för beräkningen av antiderivativ eller integraler, det tjänar till att representera de lösningar som utgör en primitiv funktion. Uttryck en inneboende tvetydighet där varje funktion har ett oändligt antal primitiver.
Om vi till exempel tar funktionen: f (x) = 2x + 1 och vi får dess antiderivativa:
∫ (2x + 1) dx = xtvå + x + C ; Var C är konstant integration och representerar grafiskt den vertikala översättningen mellan primitivens oändliga möjligheter. Det är korrekt att säga att (xtvå + x) är a av primitiven av f (x).
På samma sätt kan vi definiera a (xtvå + x + C ) som primitiv för f (x).
Artikelindex
Det kan noteras att genom att härleda uttrycket (xtvå + x) erhålls funktionen f (x) = 2x + 1. Detta beror på den inversa egenskap som finns mellan härledningen och integrationen av funktioner. Denna egenskap gör det möjligt att erhålla integrationsformler med utgångspunkt från differentieringen. Vilket möjliggör verifiering av integraler genom samma derivat.
Men (xtvå + x) är inte den enda funktionen vars derivat är lika med (2x + 1).
Där 1, 2, 3 och 4 representerar särskilda primitiver av f (x) = 2x + 1. Medan 5 representerar den obestämda eller primitiva integralen av f (x) = 2x + 1.
Primitiven för en funktion uppnås genom antiderivation eller integrerad process. Där F kommer att vara en primitiv av f om följande är sant
Det kan ses att en funktion har ett enda derivat, till skillnad från dess oändliga primitiva resultat från integration.
∫ f (x) dx = F (x) + C.
Det motsvarar en familj av kurvor med samma mönster, som upplever inkongruitet i värdet på bilderna för varje punkt (x, y). Varje funktion som uppfyller detta mönster kommer att vara en individuell primitiv och uppsättningen av alla funktioner är känd som obestämd integral.
Värdet av konstant integration kommer att vara den som skiljer varje funktion i praktiken.
De konstant integration föreslår en vertikal förskjutning i alla grafer som representerar en funktions primitiv. Där parallelliteten mellan dem observeras, och det faktum att C är värdet på förskjutningen.
Enligt vanliga metoder konstant integration det betecknas med bokstaven "C" efter ett tillägg, även om det i praktiken inte spelar någon roll om konstanten adderas eller subtraheras. Dess verkliga värde kan hittas på olika sätt enligt olika initiala villkor.
Det pratades redan om hur konstant integration appliceras i grenen av integrerad kalkyl; Representerar en familj av kurvor som definierar den obestämda integralen. Men många andra vetenskaper och grenar har tilldelat mycket intressanta och praktiska värden konstant integration, som har underlättat utvecklingen av flera studier.
I fysisk Integrationskonstanten kan ta flera värden beroende på dataens natur. Ett mycket vanligt exempel är att känna till funktionen V (t) som representerar hastighet av en partikel kontra tid t. Det är känt att vid beräkning av en primitiv V (t) erhålls funktionen R (t) som representerar placera partikel kontra tid.
De konstant integration representerar värdet på startpositionen, det vill säga vid tidpunkten t = 0.
På samma sätt, om funktionen är känd A (t) som representerar acceleration av partikeln kontra tid. Primitiven för A (t) kommer att resultera i funktionen V (t), där konstant integration kommer att vara värdet på starthastigheten V.0.
I ekonomi, genom att erhålla med hjälp av integration en kostnadsfunktions primitiv. De konstant integration kommer att representera fasta kostnader. Och så många andra applikationer som förtjänar differentiell och integrerad beräkning.
För att beräkna konstant integration, det kommer alltid att vara nödvändigt att känna till initiala villkor. Vilka är ansvariga för att definiera vilken av de möjliga primitiverna som motsvarar.
I många applikationer behandlas det som en oberoende variabel vid tidpunkten (t), där konstanten C tar de värden som definierar initiala villkor i det enskilda fallet.
Om vi tar det första exemplet: ∫ (2x + 1) dx = xtvå + x + C
Ett giltigt startvillkor kan vara att villkoret att diagrammet passerar genom en specifik koordinat. Det är till exempel känt att den primitiva (xtvå + x + C) passerar genom punkten (1, 2)
F (x) = xtvå + x + C; detta är den allmänna lösningen
F (1) = 2
Vi ersätter den allmänna lösningen i denna jämlikhet
F (1) = (1)två + (1) + C = 2
Från där det lätt följer det C = 0
På detta sätt är motsvarande primitiv för detta fall F (x) = xtvå + x
Det finns flera typer av numeriska övningar som fungerar med konstantar av integration. Faktum är att differential- och integralkalkylen inte slutar tillämpas i nuvarande undersökningar. På olika akademiska nivåer finns de; från första beräkning, genom fysik, kemi, biologi, ekonomi, bland andra.
Det ses också i studien av differentialekvationer, där den konstant integration Det kan ta olika värden och lösningar, detta på grund av de många härledningar och integrationer som utförs i denna fråga.
Det är känt att i en jämnt varierad rätlinjig rörelse är accelerationen ett konstant värde. Detta är fallet med projektiluppskjutningen, där accelerationen kommer att vara tyngdkraften
g = - 10 m / stvå
Det är också känt att accelerationen är det andra derivatet av positionen, vilket indikerar en dubbel integration i upplösningen av övningen och därmed erhåller två konstantar av integration.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
De första förhållandena för övningen indikerar att starthastigheten är V0 = 25 m / s. Detta är hastigheten vid tidpunkten t = 0. På detta sätt är det tillfredsställt att:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Y C1 = 25
Hastighetsfunktionen definieras
V (t) = -10t + 25; Likheten med MRUV-formeln (VF = V0 + a x t)
På ett homologt sätt fortsätter vi med att integrera hastighetsfunktionen för att erhålla uttrycket som definierar positionen:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5ttvå + 25t + Ctvå
R (t) = -5ttvå + 25t + Ctvå (primitiv position)
Startpositionen R (0) = 30 m är känd. Då beräknas den speciella primitiven för projektilen.
R (0) = 30m = -5 (0)två + 25 (0) + Ctvå . Var Ctvå = 30
Det första avsnittet har lösts sedan R (t) = -5ttvå + 25t + 30 ; Detta uttryck är homologt med förskjutningsformeln i MRUV R (t) = R0 + V0t - gttvå/två
För det andra avsnittet måste den kvadratiske ekvationen lösas: -5ttvå + 25t + 30 = 0
Eftersom detta förutsätter att partikeln når marken (position = 0)
I själva verket ger andragradens ekvation oss två lösningar T: 6, -1. Värdet t = -1 ignoreras eftersom det är tidsenheter vars domän inte innehåller negativa tal.
På detta sätt löses det andra avsnittet där flygtiden är lika med 6 sekunder.
Med informationen från det andra derivatet f "(x) = 4 börjar antideriveringsprocessen
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C.1
Sedan vet vi om tillståndet f '(2) = 2, och fortsätter:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 och f '(x) = 4x - 8
Fortsätt på samma sätt för det andra konstant integration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xtvå - 8x + C.två
Det initiala villkoret f (0) = 7 är känt och vi fortsätter:
2 (0)två - 8 (0) + Ctvå = 7
Ctvå = 7 och f (x) = 2xtvå - 8x + 7
På samma sätt som det tidigare problemet definierar vi de första derivaten och den ursprungliga funktionen från de ursprungliga förhållandena.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xtvå) dx = (x3/ 3) + C1
Med villkoret f '(0) = 6 fortsätter vi:
(03/ 3) + C1 = 6; Var1 = 6 och f '(x) = (x3/ 3) + 6
Sedan den andra konstant integration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + C.två
Initialvillkoret f (0) = 3 är känt och vi fortsätter:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + Ctvå = 3; Vartvå = 3
Således uppnår vi den primitiva specifika
f (x) = (x4/ 12) + 6x + 3
Det är viktigt att komma ihåg att derivat hänvisar till linjens lutning som tangerar kurvan vid en given punkt. Där det inte är korrekt att anta att grafen för derivatet berör den angivna punkten, eftersom detta tillhör grafen för den primitiva funktionen.
På detta sätt uttrycker vi differentialekvationen enligt följande:
dy = (2x - 2) dx ; då när vi tillämpar antiderivationskriterierna har vi:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xtvå - 2x + C.
Tillämpa det ursprungliga villkoret:
2 = (3)två - 2 (3) + C
C = -1
Erhålles: f (x) = xtvå - 2x - 1
Vi uttrycker differentialekvationen enligt följande:
dy = (3xtvå - 1) dx ; då när vi tillämpar antiderivationskriterierna har vi:
∫dy = ∫ (3xtvå - 1) dx
y = x3 - x + C
Tillämpa det ursprungliga villkoret:
2 = (0)två - 2 (0) + C
C = 2
Erhålles: f (x) = x3 - x + 2
Ingen har kommenterat den här artikeln än.