De cylindriska koordinater de tjänar till att lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme och består av en radiell koordinat ρ, en azimutkoordinat φ och en höjdkoordinat z.
En punkt P placerad i rymden projiceras ortogonalt på planet XY ger upphov till saken P ' i det planet. Avståndet från ursprung till punkt P ' definierar koordinaten ρ, medan vinkeln bildas av axeln X med strålen OP ' definierar koordinaten φ. Slutligen koordinaten z är punktens ortogonala projektion P på axeln Z. (se figur 1).
Den radiella koordinaten ρ är alltid positiv, den azimutala koordinaten φ varierar från noll radianer till två pi radianer, medan z-koordinaten kan ta vilket verkligt värde som helst:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
- ∞ < z < + ∞
Artikelindex
Det är relativt lätt att få de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt P från dess cylindriska koordinater (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Men det är också möjligt att erhålla polära koordinater (ρ, φ, z) utifrån kunskapen om de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt P:
ρ = √ (xtvå + Ytvå)
φ = arctan (y / x)
z = z
Basen på cylindriska enhetsvektorer definieras Uρ, Uφ, Uz.
Vektoren Uρ är tangent till linjen φ = ctte och z = ctte (pekar radiellt utåt), vektorn Uφ är tangent till linjen ρ = ctte och z = ctte och slutligen Uz har samma riktning mot Z-axeln.
I den cylindriska enhetsbasen, positionsvektorn r av en punkt P skrivs vektorellt så här:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
Å andra sidan en oändlig förskjutning dr från punkt P uttrycks det enligt följande:
dr = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
På samma sätt är ett oändligt element av volym dV i cylindriska koordinater:
dV = ρ dρ dφ dz
Det finns otaliga exempel på användning och tillämpning av cylindriska koordinater. I kartografi, till exempel, cylindrisk projektion, baserat just på dessa koordinater. Det finns fler exempel:
Cylindriska koordinater har tillämpningar inom teknik. Som ett exempel har vi CHS-systemet (Cylinder-Head-Sector) för att hitta data på en hårddisk, som faktiskt består av flera diskar:
- Cylindern eller spåret motsvarar koordinaten ρ.
- Sektorn motsvarar positionen φ på skivan som roterar högt vinkelhastighet.
- Huvudet motsvarar läshuvudets z-position på motsvarande skiva.
Varje informationsbyte har en exakt adress i cylindriska koordinater (C, S, H).
Byggkranar fixerar lastens position i cylindriska koordinater. Det horisontella läget definieras av avståndet till kranens axel eller pil ρ och av dess vinkelläge φ med avseende på någon referensaxel. Lastens vertikala läge bestäms av höjdens z-koordinat.
Det finns punkter P1 med cylindriska koordinater (3, 120º, -4) och punkt P2 med cylindriska koordinater (2, 90º, 5). Hitta Euklidiskt avstånd mellan dessa två punkter.
Lösning: Först fortsätter vi med att hitta de kartesiska koordinaterna för varje punkt enligt formeln ovan.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
Det euklidiska avståndet mellan P1 och P2 är:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))två+(2 - 2,60)två+(5 - (- 4))två ) = ...
… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14
Punkt P har kartesiska koordinater (-3, 4, 2). Hitta motsvarande cylindriska koordinater.
Lösning: Vi fortsätter att hitta de cylindriska koordinaterna med hjälp av relationerna ovan:
ρ = √ (xtvå + Ytvå) = √ ((- 3)två + 4två) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Man bör komma ihåg att den arktangenta funktionen är flervärdad med 180 ° periodicitet. Vinkeln φ måste också tillhöra den andra kvadranten, eftersom x- och y-koordinaterna för punkt P finns i den kvadranten. Detta är anledningen till att 180º har lagts till i resultatet φ.
Uttrycka i cylindriska koordinater och i kartesiska koordinater ytan på en cylinder med radie 2 och vars axel sammanfaller med Z-axeln.
Lösning: Det är underförstått att cylindern har en oändlig förlängning i z-riktningen, så ekvationen för nämnda yta i cylindriska koordinater är:
ρ = 2
För att erhålla den kartesiska ekvationen för den cylindriska ytan tas kvadraten för båda elementen i den föregående ekvationen:
ρtvå = 4
Vi multiplicerar med 1 båda medlemmarna av den tidigare jämställdheten och tillämpar grundläggande trigonometrisk identitet (sentvå(φ) + costvå(φ) = 1):
1 * ρtvå = 1 * 4
(sentvå(φ) + costvå(φ)) * ρtvå = 1 * 4
Parentesen är utvecklad för att erhålla:
(ρ sin (φ))två + (ρ cos (φ))två = 4
Vi kommer ihåg att de första parenteserna (ρ sin (φ)) är y-koordinaten för en punkt i polära koordinater, medan parenteserna (ρ cos (φ)) representerar x-koordinaten, så att vi har ekvationen för cylindern i kartesiska koordinater:
Ytvå + xtvå = 2två
Den föregående ekvationen bör inte förväxlas med cirkeln i XY-planet, eftersom det i det här fallet skulle se ut så här: ytvå + xtvå = 2två ; z = 0.
En cylinder med radien R = 1 m och höjden H = 1m har sin massa fördelad radiellt enligt följande ekvation D (ρ) = C (1 - ρ / R) där C är en konstant av värdet C = 1 kg / m3. Hitta den totala massan av cylindern i kg.
Lösning: Det första är att inse att funktionen D (ρ) representerar den volymetriska massdensiteten och att massdensiteten fördelas i cylindriska skal med minskande densitet från centrum till periferin. Ett oändligt minimalt volymelement enligt problemets symmetri är:
dV = ρ dρ 2π H
Följaktligen kommer den oändliga massan av ett cylindriskt skal att vara:
dM = D (ρ) dV
Därför kommer den totala massan av cylindern att uttryckas av följande bestämd integral:
M = ∫ellerR D (ρ) dV = ∫ellerR C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫ellerR (1 - ρ / R) ρ dρ
Lösningen av den angivna integralen är inte svår att få, resultatet är:
∫ellerR (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) Rtvå
Genom att införliva detta resultat i uttrycket av cylinderns massa får vi:
M = 2π H C (⅙) Rtvå = ⅓ π H C Rtvå =
⅓ π 1m * 1kg / m3* 1mtvå = π / 3 kg ≈ 1,05 kg
Ingen har kommenterat den här artikeln än.