Dynamiken i ett system med partiklar exempel, övningar

De dynamiken i ett partikelsystem Den består av tillämpningen av Newtons rörelselagar på en uppsättning partiklar, som kan vara diskreta (partiklarna kan räknas) eller utgöra en del av ett förlängt objekt, i detta fall är systemet kontinuerligt.

För att förklara rörelsen hos ett partikelsystem är det obekvämt att analysera var och en separat och se vilka krafter som verkar på det. Istället definieras en representativ punkt för uppsättningen, kallad Masscenter.

Att beskriva rörelsen för masscentrum ger en mycket exakt översikt över den totala rörelsen för helheten, det gör det också möjligt att tillämpa Newtons lagar på ett sätt som är analogt med när objektet betraktas som en dimensionlös partikel.

Den här senaste modellen, kallad partikelmodell, Det är bra för att beskriva översättningar och även när du inte behöver ta hänsyn till objektets dimensioner. Men vanliga föremål har storlek och om de också har rotationsrörelse är det nödvändigt att ta hänsyn till de punkter där krafterna appliceras.

Artikelindex

• 1 Exempel
  • 1.1 Jorden och månen
  • 1.2 Utökade objekt
• 2 Masscentrum för ett partikelsystem
  • 2.1 CM rörelse
  • 2.2 Kraft på CM
• 3 Övningen löst
  • 3.1 Lösning a
  • 3.2 Lösning b
  • 3.3 Lösning c
• 4 Referenser

Exempel

Jorden och månen

En uppsättning diskreta partiklar m₁, m_två, m₃... som så småningom rör sig med avseende på ett koordinatsystems ursprung, på grund av någon resulterande kraft som verkar på dem, är ett bra exempel på ett partikelsystem.

Jorden kan betraktas som en partikel och månen till en annan, då båda utgör ett system med två partiklar under påverkan av solens tyngdkraft..

Utökade objekt

En person, ett djur eller något annat föremål i miljön kan också betraktas som ett partikelsystem, bara att dessa är så små att de inte kan räknas en efter en. Detta är ett kontinuerligt system, men med hänsyn till vissa överväganden är dess behandling densamma som för ett diskret system.

Nedan är detaljerna.

Masscentrum för ett partikelsystem

För att börja studera ett partikelsystem måste vi hitta masscentrum (CM), vilket är den punkt där hela systemets massa är koncentrerad..

För det diskreta systemet i figur 1, med n partiklar, har var och en en positionsvektor riktad från koordinatsystemets ursprung O till punkten P (x, y, z) där partikeln är. Dessa vektorer betecknas som r₁, r_två, r₃... r_n.

Koordinaterna för CM beräknas med hjälp av följande ekvationer:

Där var och en av uppsättningsmassorna representeras som m₁, m_två, m₃... m_n. Observera att summeringen ∑ m_i motsvarar den totala massan M för enheten. Om systemet är kontinuerligt ersätts summeringen med integraler.

Var och en av de vinkelräta riktningarna representeras av enhetsvektorerna i, j Y k, följaktligen betecknas CM-positionens vektor r_CENTIMETER, kan uttryckas genom:

r_CENTIMETER = x_CENTIMETER i + Y_CENTIMETER j + z_CENTIMETER k

CM-rörelse

När platsen för masscentrum är känd gäller de kända rörelseekvationerna. Hastigheten för CM är det första derivatet av positionen med avseende på tid:

I det här fallet har systemet en total fart P som beräknas som produkten av systemets totala massa och hastigheten för masscentrum:

P = M ∙v_CENTIMETER

Alternativt kan systemets totala momentum beräknas direkt:

P = m₁v₁ + m_tvåv_två + m₃v₃ +.... = ∑ m_i v_i

Medan accelerationen av CM är härledda av hastigheten:

Tvinga på CM

Krafterna som verkar på ett partikelsystem kan vara:

• Interna krafter på grund av interaktioner mellan samma partiklar.
• Externa krafter, orsakade av agenter utanför systemet.

Eftersom de inre krafterna presenteras i par, av samma storlek och riktning, men motsatta riktningar, enligt Newtons tredje lag är det sant att:

∑ F_int = 0

Därför förändrar inte de inre krafterna hela rörelsen, men de är mycket viktiga för att bestämma den inre energin..

Om systemet är isolerat och det inte finns några yttre krafter, enligt Newtons första lag vilar massacentret i vila eller rör sig med enhetlig rätlinjig rörelse. I annat fall upplever massacentret en acceleration som ges av:

∑ F_ext = M ∙till_CENTIMETER

Där M är systemets totala massa. Ovanstående ekvation kan skrivas så här:

Och det betyder att den yttre kraften motsvarar den tidsmässiga variationen i momentum, ett annat sätt att uttrycka Newtons andra lag och samma som den berömda engelska fysikern använde i sin bok Princip.

Övningen löst

Masscentrumet för ett 2-partikelsystem ligger på x-axeln vid ett visst ögonblick, vid positionen x = 2,0 m och rör sig med hastigheten 5,0 m / s i samma riktning och i en positiv riktning. Om en av partiklarna har sitt ursprung och den andra, med en massa på 0,1 kg, vilar på x = 8,0 m, beräkna:

a) Massan av partikeln som är vid ursprunget.

b) Systemets rörelse

c) Vad är partikelns hastighet vid ursprunget?

Lösning till

Från ekvationen för positionen för masscentrum:

r_CENTIMETER = x_CENTIMETER i + Y_CENTIMETER j + z_CENTIMETER k = 2,0 m i

Eftersom CM endast har en x-koordinat används endast den första ekvationen av den tidigare angivna trioen:

Nu ersätts koordinaterna, om partikeln vid ursprunget betecknas som nummer 1 och den andra som nummer 2 är de numeriska uppgifterna:

x₁ = 0 m, x_två = 8,0 m, m_två = 0,1 kg, x_CENTIMETER = 2,0 m

Återstående:

Lösning b

Systemets rörelse beräknas av:

P = M ∙v_CENTIMETER

Den totala massan M är lika med:

M = 0,3 kg + 0,1 kg = 0,4 kg

Därför:

P = 0,4 kg ∙ 5,0 m / s i = 2 kg.m / s i

Lösning c

Från ekvationen för P av ett tvåpartikelsystem rensas det v₁, eftersom de andra uppgifterna är kända, eftersom uttalandet säger att partikel 2 är i vila, därför:

v_två = 0 

Y P det ser helt enkelt ut som:

P = m₁v₁

v₁ = P / m₁ = 2 kg.m / s i / 0,3 kg = 6,67 m / s i

Referenser

1. Duke University. System av partiklar. Återställd från: webhome.phy.duke.edu.
2. Rex, A. 2011. Grundläggande fysik. Pearson.
3. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14: e. Red. Volym 1. Pearson.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för naturvetenskap och teknik. Volym 1. 7: e. Ed. Cengage Learning.
5. Tipler, P. (2006) Fysik för vetenskap och teknik. 5: e upplagan Volym 1. Redaktionellt Reverté.