A eneagon är en polygon med nio sidor och nio hörn, som kan eller inte kan vara vanliga. Namnet eneágono kommer från grekiska och består av de grekiska orden ennea (nio och gonon (vinkel).
Ett alternativt namn för den nio-sidiga polygonen är nonagon, ett ord som kommer från latin nonus (nio och gonon (vertex). Å andra sidan, om sidorna eller vinklarna på enegonen är ojämna med varandra, har vi en oregelbunden enegon. Om å andra sidan de nio sidorna och de nio vinklarna på enegonen är lika, är det a regelbunden enegon.
Artikelindex
För en polygon med n sidor är summan av dess inre vinklar:
(n - 2) * 180º
I enegonen skulle det vara n = 9, så summan av dess inre vinklar är:
Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º
I vilken polygon som helst är antalet diagonaler:
D = n (n - 3) / 2 och i fallet med enegon, eftersom n = 9, har vi då att D = 27.
I det vanliga eneagonet eller nonagon finns det nio (9) inre vinklar med lika mått, varför varje vinkel mäter en nionde av den totala summan av de inre vinklarna.
Mätningen på enegons inre vinklar är då 1260º / 9 = 140º.
Att härleda formeln för området för en vanlig enegon med sida d det är bekvämt att göra några hjälpkonstruktioner, som de som visas i figur 2.
Centret ligger ELLER spåra halvorna på två intilliggande sidor. Mitten ELLER lika långt från hörn.
En längdradie r är det segment som går från centrum ELLER till en topp av enegonen. Radierna visas i figur 2. OD Y OE längd r.
Apotemet är det segment som går från centrum till mittpunkten på ena sidan av enegonen. Till exempel EGT är ett apotem vars längd är till.
Vi betraktar triangeln ODE i figur 2. Området för denna triangel är produkten av dess bas FRÅN för höjden EGT dividerat med 2:
Område ODE = (DE * EUT) / 2 = (d * a) / 2
Eftersom det finns 9 trianglar med lika area i enegonen, dras slutsatsen att området för samma är:
Eneagon-området = (9/2) (d * a)
Om bara längden d på sidorna av enegonen är känd, är det nödvändigt att hitta längden på apotemet för att kunna tillämpa formeln från föregående avsnitt.
Vi betraktar triangeln ÖGA rektangel i J (se figur 2). Om det tangentiella trigonometriska förhållandet tillämpas får vi:
så(∡OEJ) = EGT / Ex.
Vinkeln ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, att vara EO delning av enegonens inre vinkel.
Å andra sidan, EGT är längdens apotem till.
Sedan som J är mittpunkten för ED det följer att EJ = d / 2.
Att ersätta de tidigare värdena i den tangentrelation som vi har:
solbränna (70º) = a / (d / 2).
Nu rensar vi apotemets längd:
a = (d / 2) solbränna (70º).
Det föregående resultatet ersätts med områdesformeln för att erhålla:
Eneagon-området = (9/2) (d * a) = (9/2)( d * (d / 2) solbränna (70º)
Slutligen hittar vi formeln som gör det möjligt att erhålla området för den vanliga enegonen om bara längden är känd d från dess sidor:
Eneagon-området = (9/4) dtvå solbränna (70º) = 6.1818 dtvå
En polygons omkrets är summan av dess sidor. När det gäller enegon, eftersom var och en av sidorna mäter en längd d, dess omkrets blir summan av nio gånger d, nämligen:
Omkrets = 9 d
Med tanke på triangeln ÖGA rektangel i J (se figur 2) tillämpas det trigonometriska cosinusförhållandet:
cos (∡OEJ) = Ex / OE = (d / 2) / r
Var är den erhållen från:
d = 2r cos (70º)
Genom att ersätta detta resultat får vi formeln för omkretsen som en funktion av enegonens radie:
Omkrets = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r
1- För att bygga en vanlig eneagon, med en linjal och en kompass, börja från omkretsen c som avgränsar enegonen. (se figur 3)
2- Två vinkelräta linjer dras genom centrum O av omkretsen. Därefter markeras korsningarna A och B på en av linjerna med omkretsen.
3- Med kompassen, centrerad vid skärningen B och öppningen lika med radien BO, dras en båge som avlyssnar den ursprungliga omkretsen vid en punkt C.
4- Det föregående steget upprepas men gör ett centrum vid A och radien AO, en båge dras som avlyssnar omkretsen c vid punkt E.
5- Med öppning AC och centrum i A dras en båge med omkrets. På samma sätt med öppning BE och centrum B ritas en annan båge. Korsningen mellan dessa två bågar är markerad som punkt G.
6- Centrering vid G och öppning GA ritas en båge som avlyssnar sekundäraxeln (horisontellt i detta fall) vid punkt H. Skärningen mellan sekundäraxeln och den ursprungliga omkretsen c är markerad som I.
7- Längden på segmentet IH är lika med längden d på sidan av enegonen.
8- Med kompassöppning IH = d ritas bågarna av centrum A-radie AJ, centrum J-radie AK, centrum K-radie KL och centrum L-radie LP successivt.
9- På samma sätt, med början från A och från höger sida, ritas bågar med radien IH = d som markerar punkterna M, N, C och Q på den ursprungliga omkretsen c.
10- Slutligen ritas segmenten AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ och slutligen PB.
Det bör noteras att konstruktionsmetoden inte är helt exakt, eftersom det kan verifieras att den sista sidan PB är 0,7% längre än de andra sidorna. Hittills finns det ingen känd konstruktionsmetod med en linjal och kompass som är 100% exakt..
Här är några bearbetade exempel.
Du vill bygga en vanlig enegon vars sidor mäter 2 cm. Vilken radie måste ha den omkrets som begränsar den, så att vid tillämpning av den tidigare beskrivna konstruktionen uppnås önskat resultat?
Lösning:
I ett föregående avsnitt härleddes formeln som relaterar radien r för den begränsade cirkeln med sidan d för en vanlig enegon:
d = 2r cos (70º)
Lösning för r från föregående uttryck har vi:
r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d
Genom att ersätta värdet d = 2 cm i föregående formel erhålls en radie r på 2,92 cm.
Vad är området för en vanlig enegon med en sida 2 cm?
Lösning:
För att svara på denna fråga måste vi referera till den tidigare visade formeln, som gör det möjligt för oss att hitta området för en känd enegon med längden d på dess sida:
Eneagon-området = (9/4) dtvå solbränna (70º) = 6.1818 dtvå
Genom att ersätta d för dess värde på 2 cm i föregående formel får vi:
Eneagon-området = 24,72 cm
Ingen har kommenterat den här artikeln än.