Slumpmässiga felformler och ekvationer, beräkning, exempel, övningar

De slumpmässigt fel av en fysisk kvantitet består av de oförutsägbara variationerna av måttet på den kvantiteten. Dessa variationer kan produceras av fenomenet som mäts, av mätinstrumentet eller av observatören själv..

Ett sådant fel beror inte på att något har gjorts fel under experimentet, utan är ett fel som är inneboende i mätprocessen eller fenomenet som studeras. Detta gör att den uppmätta kvantiteten ibland är lite högre och ibland lite mindre, men den svänger vanligtvis runt ett centralt värde..

I motsats till slumpmässigt fel kan systematiska fel orsakas av en dålig kalibrering eller en otillräcklig skalfaktor i mätinstrumentet, till och med ett fel i experimentutrustningen eller en otillräcklig observation som orsakar en avvikelse i samma riktning..

Figur 1 illustrerar skillnaden mellan systematiska och slumpmässiga fel i spelet att kasta dart mot ett mål med cirklar..

När det gäller vänster koncentreras pilarna runt en punkt långt från centrum. Lanseringen av dessa pilar, även om de har ett bra mål, har ett systematiskt misslyckande, kanske av visuellt ursprung, eller i vägen för att kasta.

Å andra sidan har bärraketten till höger (i figur 1) en stor spridning runt det centrala målet, därför är det en mycket oprecis launcher, med dåligt mål, som ofrivilligt begår ett slumpmässigt fel..

Artikelindex

• 1 Formler och ekvationer i slumpmässigt fel
  • 1.1 Genomsnittsvärde och standardavvikelse
• 2 Hur man beräknar slumpmässigt fel?
• 3 Exempel på slumpmässiga fel
  • 3.1 Mätning av längd med måttband eller linjal
  • 3.2 Vindens hastighet
  • 3.3 När du läser volymen på en graderad cylinder
  • 3.4 När du mäter barnets höjd
  • 3.5 När du använder badrumsvåg
• 4 Övningen löst
  • 4.1 Lösning
• 5 Referenser

Formler och ekvationer i slumpmässigt fel

När slumpmässigt fel observeras i mätprocessen är det nödvändigt att upprepa mätningen flera gånger, eftersom statistiskt sett är ju större antal mätningar, desto mindre är felet i den slutliga mätuppskattningen..

Naturligtvis är det vid varje mätning nödvändigt att se till att förhållandena under vilka de utförs alltid är desamma.

Antag att mätningen upprepas n gånger. Eftersom det finns slumpmässiga fel i varje mätning kommer det att ha ett något annat värde. Antag att uppsättningen av n mätningar är:

x₁, x_två, x₃,..., x_n

Så vilket värde att rapportera för åtgärden? 

Genomsnittligt värde och standardavvikelse

De medelvärde eller genomsnitt av den uppsättning åtgärder, som vi betecknar med och beräknas enligt följande:

= (x₁ + x_två + x₃ +... + X_n) / n

Standardavvikelse

Detta resultat har dock en felmarginal som ges av standardavvikelsen. För att definiera det måste du först känna till avvikelsen och sedan variansen:

-Avvikelse d_i  vad varje uppmätt värde har xi med avseende på medelvärdet det är:

d_i = x_i -

Om genomsnittet av avvikelserna beräknades skulle det systematiskt erhållas = 0, som: 

= (d₁ + d_två + d₃ +... + D_n) / n =

= [(x₁ - ) + (x_två - ) + ... + (X_n - )] / n

= (x₁+ x_två +... + X_n) / n - n / n = - = 0

-Genomsnittet av avvikelserna är inte användbart för att känna till måttens spridning. Å andra sidan är det genomsnittliga värdet på kvadraten för avvikelserna eller variansen, betecknad med σ^två, om den är.

Den beräknas enligt följande formel:

σ^två = (d₁^två + d_två^två +…. + D_n^två ) / (n-1)

I statistik kallas denna kvantitet variation.  

Och kvadratroten av variansen är känd som standardavvikelse σ:

σ = √ [(d₁^två + d_två^två +…. + D_n^två ) / (n-1)] 

Standardavvikelsen σ berättar för oss att:

1.- 68% av de mätningar som gjorts faller inom intervallet [ - σ , + σ]. 

2.- 95% av mätningarna ligger i intervallet [ - 2σ , + 2σ].

3.- 99,7% av de mätningar som gjorts ligger inom intervallet [ - 3σ , + 3σ].

Hur man beräknar det slumpmässiga felet?

Mätresultatet är medelvärde av n mätningar betecknade med och beräknas enligt följande formel:

= (∑x_i) / n

i alla fall Det är inte det "exakta" värdet för mätningen, eftersom påverkas av slumpmässigt fel ε, som beräknas så här:

ε = σ / √n

Var:

σ = √ [(∑ (xi - )^två ) / (n-1)]

Det slutliga resultatet av mätningen måste rapporteras på något av följande sätt:

1. ± σ / √n = ± ε med en konfidensnivå på 68%.
2. ± 2σ / √n = ± 2ε med en konfidensnivå på 95%.
3. ± 3σ / √n = ± 3ε med en konfidensnivå på 99,7%.

Det slumpmässiga felet påverkar den sista signifikanta siffran för mätningen, vilket i allmänhet sammanfaller med mätinstrumentets uppskattning. Om det slumpmässiga felet är mycket stort kan de två sista siffrorna dock påverkas av variation..

Exempel på slumpmässiga fel

Slumpmässiga fel kan visas i olika fall där en mätning utförs:

Mäta en längd med ett måttband eller linjal

När en längd mäts med en linjal eller måttband och avläsningarna faller mellan markeringarna på skalan, uppskattas det mellanliggande värdet.

Ibland har uppskattningen ett överskott och andra gånger en defekt, så att slumpmässiga fel införs i mätprocessen.

Vindens hastighet

Vid mätning av vindhastighet kan det bli förändringar i avläsningen från ett ögonblick till ett annat på grund av fenomenets förändrade natur..

När du läser volymen på en graderad cylinder

När volymen avläses med en graderad cylinder, till och med försöker minimera parallaxfelet, ändras meniskens observationsvinkel lite varje gång det mäts, varför mätningarna påverkas av slumpmässigt fel.

När du mäter barnets höjd

När du mäter höjden på ett barn, särskilt om det är lite rastlöst, gör små förändringar i hållning lite avläsningen.

När du använder badrumsvåg

När vi vill mäta vår vikt med en badrumsvåg kan en liten förändring i stödpunkten, till och med en förändring i hållning slumpmässigt påverka mätningen..

Övningen löst

En leksaksvagn får rulla nerför ett rakt och lutande spår och tiden det tar att färdas hela spåret mäts med ett stoppur. 

Mätningen utförs 11 gånger, var noga med att alltid släppa vagnen från samma plats utan att ge den någon impuls och hålla lutningen fast..

Uppsättningen av erhållna resultat är:

3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s

Vad är det slumpmässiga felet i mätningarna?

Lösning

Som du kan se är de erhållna resultaten inte unika och varierar något..

Det första är att beräkna medelvärdet för nedstigningstiden och erhålla 3.074545455 sekunder.

Det är inte meningsfullt att behålla så många decimaler, eftersom varje mätning har tre signifikanta siffror och den andra decimalen för varje mätning är osäker, eftersom den ligger vid stoppurets uppskattningsgräns, därför avrundas resultatet till två decimaler:

= 3,08 s.

Med miniräknaren i statistiskt läge är standardavvikelsen σ = 0,03 s och standardfelet är σ / √11 = 0,01 s. Det slutliga resultatet uttrycks så här:

Nedstigningstid 

3,08 s ± 0,01 s (med en konfidensnivå på 68%)

3,08 s ± 0,02 s (med en konfidensnivå på 95%)

3,08 s ± 0,03 s (med en konfidensnivå på 99,7%)

Referenser

1. Canavos, G. 1988. Sannolikhet och statistik: Tillämpningar och metoder. Mcgraw hill.
2. Devore, J. 2012. Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap. 8: e. Utgåva. Cengage.
3. Helmenstine A. Slumpmässigt fel vs. systematiska fel. Återställd från: thoughtco.com
4. Laredo, E. Fel i media. Återställd från: usb.ve.
5. Levin, R. 1988. Statistik för administratörer. 2: a. Utgåva. Prentice hall.