Två händelserna är oberoende, när sannolikheten att en av dem inträffar inte påverkas av det faktum att den andra inträffar - eller inte inträffar - med tanke på att dessa händelser inträffar slumpmässigt.
Denna omständighet inträffar när den process som genererar resultatet av händelse 1 inte på något sätt ändrar sannolikheten för de möjliga resultaten av händelse 2. Men om detta inte händer sägs händelserna vara beroende..
En oberoende händelsesituation är som följer: Anta att två sexsidiga tärningar kastas, en blå och den andra rosa. Sannolikheten att en 1 kommer att rulla på den blå formen är oberoende av sannolikheten att en 1 kommer att rulla - eller inte rulla - på den rosa formen..
Ett annat fall av två oberoende händelser är att kasta ett mynt två gånger i rad. Resultatet av det första kastet beror inte på resultatet av det andra och vice versa.
Artikelindex
För att verifiera att två händelser är oberoende definierar vi begreppet villkorlig sannolikhet för en händelse med avseende på en annan. För detta är det nödvändigt att skilja mellan exklusiva evenemang och inkluderande evenemang:
Två händelser är exklusiva om de möjliga värdena eller elementen för händelse A inte har något gemensamt med värdena eller elementen för händelse B.
Därför är uppsättningen av korsningen av A med B i två exklusiva händelser vakuumet:
Exklusive händelser: A∩B = Ø
Tvärtom, om händelserna är inkluderande, kan det hända att ett resultat av händelse A också sammanfaller med det för en annan B, där A och B är olika händelser. I detta fall:
Inkluderande evenemang: A∩B ≠ Ø
Detta leder oss att definiera den villkorliga sannolikheten för två inkluderande händelser, med andra ord sannolikheten för händelse A, närhelst händelse B inträffar:
P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)
Därför är den villkorliga sannolikheten sannolikheten för att A kommer att inträffa och B dividerat med sannolikheten för att B. kommer att inträffa. Sannolikheten att B kommer att inträffa villkorad av A kan också definieras:
P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)
Därefter ger vi tre kriterier för att veta om två händelser är oberoende. Det räcker att en av de tre uppfylls, så att händelsernas oberoende demonstreras.
1. - Om sannolikheten för att A inträffar när B inträffar är lika med sannolikheten för A, så är de oberoende händelser:
P (A¦B) = P (A) => A är oberoende av B
2. - Om sannolikheten för att B inträffar givet A är lika med sannolikheten för B, så finns det oberoende händelser:
P (B¦A) = P (B) => B är oberoende av A
3.- Om sannolikheten för att A och B uppträder är lika med produkten av sannolikheten för att A inträffar och sannolikheten för att B inträffar, så är de oberoende händelser. Det motsatta är också sant.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A och B är oberoende händelser.
Gummisulor tillverkade av två olika leverantörer jämförs. Proverna från varje tillverkare genomgår flera tester där det dras slutsatser om de ligger inom specifikationerna eller inte.
Den resulterande sammanfattningen av de 252 proverna är som följer:
Tillverkare 1; 160 uppfyller specifikationerna; 8 uppfyller de inte specifikationerna.
Tillverkare 2; 80 uppfyller specifikationerna; 4 uppfyller inte specifikationerna.
Händelse A: "att provet kommer från tillverkare 1".
Händelse B: "att provet uppfyller specifikationerna".
Du vill veta om dessa händelser A och B är oberoende eller inte, för vilka vi tillämpar ett av de tre kriterierna som nämns i föregående avsnitt.
Kriterium: P (B¦A) = P (B) => B är oberoende av A
P (B) = 240/252 = 0,9523
P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Slutsats: Händelserna A och B är oberoende.
Antag en händelse C: "att provet kommer från tillverkare 2"
Kommer händelse B vara oberoende av händelse C?
Vi tillämpar ett av kriterierna.
Kriterium: P (B¦C) = P (B) => B är oberoende av C
P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)
Baserat på tillgängliga data är sannolikheten att en slumpmässigt vald gummisula uppfyller specifikationerna oberoende av tillverkaren..
Låt oss titta på följande exempel för att skilja mellan händelser beroende och självständig.
Vi har en påse med två vita chokladbollar och två svarta chokladbollar. Sannolikheten för att dra en vit boll eller en svart boll är lika vid första försöket.
Antag att resultatet var en köboll. Om den dragna bollen ersätts i påsen upprepas den ursprungliga situationen: två vita bollar och två svarta bollar.
Så i en andra händelse eller oavgjort är chansen att dra en köboll eller en svart boll identisk med första gången. De är därför oberoende händelser.
Men om köbollen som dras i den första händelsen inte byts ut för att vi har ätit den, i den andra dragningen finns det större chanser att dra en svart boll. Sannolikheten att vit i en andra extraktion erhålls igen skiljer sig från den första händelsen och är beroende av föregående resultat.
I en ruta sätter vi de 10 kulorna i figur 1, varav 2 är gröna, 4 är blåa och 4 är vita. Två kulor kommer att väljas slumpmässigt, en först och en senare. Den ber att hitta
sannolikheten att ingen av dem är blå, under följande förhållanden:
a) Med utbyte, det vill säga att returnera den första marmorn före det andra valet till lådan. Ange om de är oberoende eller beroende händelser.
b) Utan utbyte, på ett sådant sätt att den första extraherade marmorn lämnas ur lådan när det andra valet görs. Ange på liknande sätt om de är beroende eller oberoende händelser.
Vi beräknar sannolikheten att den första extraherade marmorn inte är blå, vilket är 1 minus sannolikheten att den är blå P (A), eller direkt att den inte är blå, eftersom den kom ut grön eller vit:
P (A) = 4/10 = 2/5
P (var inte blå) = 1 - (2/5) = 3/5
Nåväl:
P (grön eller vit) = 6/10 = 3/5.
Om den extraherade marmorn returneras är allt som tidigare. I denna andra extraktion finns det också en sannolikhet på 3/5 att den extraherade marmorn inte är blå.
P (inte blå, inte blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.
Händelserna är oberoende, eftersom den extraherade marmorn återlämnades till lådan och den första händelsen inte påverkar sannolikheten för att den andra.
För den första extraktionen, fortsätt som i föregående avsnitt. Sannolikheten att den inte är blå är 3/5.
För det andra extraktionen har vi 9 kulor i påsen, eftersom den första inte kom tillbaka, men den var inte blå, därför finns det 9 kulor i påsen och 5 inte blå:
P (grön eller vit) = 5/9.
P (ingen är blå) = P (först inte blå). P (andra inte blå / första inte blå) = (3/5). (5/9) = 1/3
I det här fallet är de inte oberoende händelser, eftersom den första händelsen förutsätter den andra..
En butik har 15 skjortor i tre storlekar: 3 små, 6 medelstora och 6 stora. 2 tröjor väljs slumpmässigt.
a) Vad är sannolikheten för att båda valda tröjorna är små, om en tas först och utan att byta ut i partiet tas en annan?
b) Vad är sannolikheten för att båda valda tröjorna är små, om en ritas först ersätts den i partiet och den andra dras?
Här är två händelser:
Händelse A: den första tröjan som valts är liten
Händelse B: den andra valda tröjan är liten
Sannolikheten för händelse A är: P (A) = 3/15
Sannolikheten för att händelse B inträffar är: P (B) = 2/14, eftersom en skjorta redan hade tagits bort (det finns 14 kvar), men dessutom vill vi att händelse A ska uppfyllas, den första skjortan som tas bort måste vara liten och därför så mycket 2 små kvar.
Sannolikheten att A och B kommer att vara produkten av sannolikheterna är:
P (A och B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Därför är sannolikheten att händelse A och B inträffar lika med produkten som händelse A inträffar, gånger sannolikheten att händelse B inträffar om händelse A inträffade..
Det ska noteras att:
P (B¦A) = 2/14
Sannolikheten att händelse B inträffar oavsett om händelse A inträffar är:
P (B) = (2/14) om den första var liten, eller P (B) = 3/14 om den första inte var liten.
I allmänhet kan följande dras:
P (B¦A) är inte lika med P (B) => B är inte oberoende av A
Återigen finns det två händelser:
Händelse A: den första tröjan som valts är liten
Händelse B: den andra valda tröjan är liten
P (A) = 3/15
Kom ihåg att oavsett resultatet byts ut skjortan från partiet och åter dras en skjorta slumpmässigt. Sannolikheten att händelse B inträffar, om händelse A inträffade är:
P (B¦A) = 3/15
Sannolikheten för att händelserna A och B inträffar är:
P (A och B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Anteckna det:
P (B¦A) är lika med P (B) => B är oberoende av A.
Tänk på två oberoende händelser A och B. Det är känt att sannolikheten för att händelse A inträffar är 0,2 och sannolikheten för att händelse B inträffar är 0,3. Vad är sannolikheten för att båda händelserna inträffar??
Att veta att händelserna är oberoende är det känt att sannolikheten för att båda händelserna inträffar är produkten av de enskilda sannolikheterna. Nämligen,
P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Observera att det är en sannolikhet mycket mindre än sannolikheten att varje händelse inträffar oavsett resultatet av den andra. Eller på ett annat sätt, mycket lägre än de individuella oddsen.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.