Dom är Pythagoras identiteter alla trigonometriska ekvationer som håller för valfritt värde i vinkeln och är baserade på Pythagoras sats. Den mest kända av de pythagoreiska identiteterna är den grundläggande trigonometriska identiteten:
Sentvå(a) + Costvå(a) = 1
Nästa i vikt och jag använder den pythagoreiska identiteten hos tangenten och sekanten:
Såtvå(a) + 1 = sektvå(a)
Och den Pythagoras trigonometriska identiteten som involverar cotangenten och cosecanten:
1 + Ctgtvå(a) = Csctvå(a)
Artikelindex
De trigonometriska förhållandena bröst Y cosinus de representeras i en cirkel med radie en (1) känd som en trigonometrisk cirkel. Nämnda cirkel har centrum vid koordinaterna O.
Vinklarna mäts från den positiva halvaxeln för X, till exempel vinkeln a i figur 2 (se nedan). Moturs om vinkeln är positiv och medurs om den är en negativ vinkel.
Strålen med ursprung O och vinkel a ritas, som avlyssnar enhetscirkeln vid punkt P. Punkt P projiceras ortogonalt på den horisontella axeln X och ger upphov till punkt C. På samma sätt projiceras P vinkelrätt på den vertikala axeln Y och ger plats till punkt S.
Vi har rätt triangel OCP vid C.
Man bör komma ihåg att det trigonometriska förhållandet bröst definieras i en höger triangel enligt följande:
Sinusen för en triangelns vinkel är förhållandet eller kvoten mellan benet mittemot vinkeln och triangelns hypotenus.
Tillämpad på triangeln OCP i figur 2 skulle det se ut så här:
Sen (a) = CP / OP
men CP = OS och OP = 1, så att:
Sen (a) = OS
Detta innebär att projicerings-OS på Y-axeln har ett värde lika med sinus för den visade vinkeln. Det bör noteras att det maximala värdet på sinus för en vinkel (+1) uppträder när α = 90º och minimum (-1) när α = -90º eller α = 270º.
På samma sätt är cosinus för en vinkel kvoten mellan benet intill vinkeln och hypotenusen i triangeln..
Tillämpad på triangeln OCP i figur 2 skulle det se ut så här:
Cos (a) = OC / OP
men OP = 1, så att:
Cos (a) = OC
Detta innebär att projektionen OC på X-axeln har ett värde lika med sinus för den visade vinkeln. Det bör noteras att det maximala värdet på cosinus (+1) uppstår när α = 0º eller α = 360º, medan minimivärdet för cosinus är (-1) när α = 180º.
För den högra triangeln OCP i C tillämpas den pythagoreiska satsen, som säger att summan av benens kvadrat är lika med hypotenusens kvadrat:
CPtvå + OCtvå = OPtvå
Men det har redan sagts att CP = OS = Sen (α), att OC = Cos (α) och att OP = 1, så att det föregående uttrycket kan skrivas om som en funktion av vinkeln sinus och cosinus:
Sentvå(a) + Costvå(a) = 1
Precis som X-axeln i den trigonometriska cirkeln är cosinusaxeln och Y-axeln sinusaxeln, på samma sätt finns tangentaxeln (se figur 3) som exakt är tangentlinjen till enhetscirkeln vid punkten B av koordinater (1, 0).
Om du vill veta värdet på tangent för en vinkel, ritar du vinkeln från den positiva halvaxeln för X, skärningspunkten mellan vinkeln och tangentens axel definierar en punkt Q, längden på segmentet OQ är vinkelns tangent.
Detta beror på att per tangent för vinkeln a är motsatt ben QB mellan intilliggande ben OB. Det vill säga Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.
Tangentens pythagorasiska identitet kan bevisas genom att beakta rätt triangel OBQ vid B (figur 3). Genom att tillämpa Pythagoras sats på denna triangel har vi den BQtvå + OBtvå = OQtvå. Men det har redan sagts att BQ = Tan (α), att OB = 1 och att OQ = Sec (α), så att vi i Pythagoras jämlikhet ersätter rätt triangel OBQ vi har:
Såtvå(a) + 1 = sektvå(a).
Kontrollera om Pythagoras identiteter uppfylls i rätt triangel med ben AB = 4 och BC = 3.
Lösning: Benen är kända, hypotenusen måste bestämmas, vilket är:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
Vinkeln ∡BAC kommer att kallas α, ∡BAC = α. Nu bestäms trigonometriska förhållanden:
Sen a = BC / AC = 3/5
Cos a = AB / AC = 4/5
Så α = BC / AB = 3/4
Cotan a = AB / BC = 4/3
Sek α = AC / AB = 5/4
Csc a = AC / BC = 5/3
Det börjar med den grundläggande trigonometriska identiteten:
Sentvå(a) + Costvå(a) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
Det dras slutsatsen att det är uppfyllt.
- Nästa Pythagoras identitet är tangenten:
Såtvå(a) + 1 = sektvå(a)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
Och det dras slutsatsen att tangentens identitet verifieras.
- På liknande sätt som för cotangenten:
1 + Ctgtvå(a) = Csctvå(a)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Det dras slutsatsen att det också är uppfyllt, med vilket uppgiften att verifiera de pythagoreiska identiteterna för den givna triangeln har slutförts.
Bevisa följande identiteter, baserat på definitionerna av trigonometriska förhållanden och Pythagoras identiteter.
Bevisa att Costvå x = (1 + Sen x) (1 - Sen x).
Lösning: På höger sida känns igen den anmärkningsvärda produkten av multiplikationen av en binomial med dess konjugat, vilket, som känt, är en skillnad i kvadrater:
Costvå x = 1två - Sentvå x
Sedan passerar termen med sinus på höger sida till vänster med tecknet ändrat:
Costvå x + Sentvå x = 1
Notera att den grundläggande trigonometriska identiteten har uppnåtts, så det dras slutsatsen att det givna uttrycket är en identitet, det vill säga det är sant för alla värden på x.
Utgående från den grundläggande trigonometriska identiteten och använd definitionerna av de trigonometriska förhållandena, visa den pythagoreiska identiteten hos cosecanten.
Lösning: Den grundläggande identiteten är:
Sentvå(x) + Costvå(x) = 1
Båda medlemmarna är uppdelade mellan Sentvå(x) och nämnaren fördelas i den första medlemmen:
Sentvå(x) / Sentvå(x) + Costvå(x) / Sentvå(x) = 1 / Sentvå(x)
Det är förenklat:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) är en (icke-Pythagoras) identitet som verifieras genom definitionen av trigonometriska förhållanden. Samma sak händer med följande identitet: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Slutligen måste du:
1 + Ctgtvå(x) = Csctvå(x)
Ingen har kommenterat den här artikeln än.