De boolesk algebra o Boolesk algebra är den algebraiska beteckningen som används för behandling av binära variabler. Den täcker studier av alla variabler som bara har två möjliga resultat, kompletterande och ömsesidigt exklusiva. Till exempel är variabler vars enda möjlighet är sant eller falskt, korrekt eller felaktigt, till eller från, grunden för studien av boolesk algebra..
Boolesk algebra utgör grunden för digital elektronik, vilket gör den ganska närvarande idag. Det styrs av begreppet logiska grindar, där de operationer som är kända i traditionell algebra påverkas särskilt.
Artikelindex
Boolesk algebra introducerades 1854 av den engelska matematikern George Boole (1815 - 1864), som var en självlärd forskare på den tiden. Hans oro uppstod från en befintlig tvist mellan Augustus De Morgan och William Hamilton om parametrarna som definierar detta logiska system.
George Boole hävdade att definitionen av de numeriska värdena 0 och 1 i logikfältet motsvarar tolkningen Ingenting och universum respektive.
George Booles avsikt var att genom algebras egenskaper definiera de uttryck för propositionell logik som behövs för att hantera variabler av binär typ.
1854 publicerades de viktigaste delarna av boolesk algebra i boken ”En undersökning av tankelagarna som de matematiska teorierna om logik och sannolikhet bygger på ".
Denna nyfikna titel skulle sammanfattas senare som ”Tankens lagar ”. Titeln blev känd på grund av den omedelbara uppmärksamhet som den fick från tidens matematiska samhälle..
1948 tillämpade Claude Shannon den på designen av bistabila elektriska omkopplingskretsar. Detta fungerade som en introduktion till tillämpningen av boolesk algebra inom hela det elektronisk-digitala systemet..
De elementära värdena i denna typ av algebra är 0 och 1, vilket motsvarar FALSE respektive TRUE. De grundläggande operationerna i boolesk algebra är 3:
- OCH drift eller sammankoppling. Representeras av en period (.). Produktsynonym.
- ELLER drift eller disjunktion. Representeras av ett kors (+). Synonym för summan.
- INTE drift eller negation. Representeras av prefixet NOT (NOT A). Kallas också som ett komplement.
Om i en uppsättning A 2 lagar av intern komposition definieras betecknad som produkt och summa (. +), Sägs trippeln (A. +) vara en boolsk algebra om och bara om nämnda trippel uppfyller villkoret att vara en gitterdistributör.
För att definiera ett distribuerande gitter måste fördelningsvillkoren uppfyllas mellan de angivna operationerna:
. är fördelande med avseende på summan + till. (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ är distributivt med avseende på produkten. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Elementen som utgör uppsättningen A måste vara binära och därmed ha värdena på universum eller tomrum.
Dess huvudsakliga applikationsscenario är den digitala grenen, där den tjänar till att strukturera de kretsar som utgör de involverade logiska operationerna. Konsten att använda kretsens enkelhet för att optimera processer är resultatet av korrekt tillämpning och praktik av boolesk algebra..
Från utvecklingen av elektriska paneler, som går igenom dataöverföring, till programmering på olika språk, kan vi ofta hitta boolesk algebra i alla typer av digitala applikationer..
Booleska variabler är mycket vanliga i strukturen för programmering. Beroende på vilket programmeringsspråk som används kommer det att finnas strukturella operationer i koden som använder dessa variabler. Villkoren och argumenten för varje språk tillåter booleska variabler att definiera processerna.
Det finns satser som styr de strukturella logiska lagarna i boolesk algebra. På samma sätt finns det postulat för att känna till de möjliga resultaten i olika kombinationer av binära variabler, beroende på utförd operation..
Operatören ELLER vars logiska element är unionen (U) definieras för binära variabler enligt följande:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operatören OCH vars logiska element är skärningspunkten (∩) definieras för binära variabler enligt följande:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Operatören INTE vars logiska element är komplementet (X) 'definieras för binära variabler enligt följande:
INTE 0 = 1
INTE 1 = 0
Många av postulaten skiljer sig från sina motsvarigheter i konventionell algebra. Detta beror på variabelns domän. Att lägga till universumelement i boolesk algebra (1 + 1) kan till exempel inte ge det konventionella resultatet av 2, eftersom det inte tillhör elementen i den binära uppsättningen.
Alla enkla operationer som involverar ett element med binära variabler definieras:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Operationer mellan lika variabler definieras som:
A + A = A
TILL. A = A
Varje operation mellan en variabel och dess komplement definieras som:
A + INTE A = 1
TILL. INTE A = 0
Varje dubbel negation kommer att betraktas som den naturliga variabeln.
INTE (INTE A) = A
A + B = B + A; Summan är kommutativ.
TILL. B = B. TILL; Produktkommutativitet.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativitet av summan.
TILL. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassociativitet.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Fördelningen av summan med avseende på produkten.
TILL. (B + C) = (A. B) + (A + C); Produktens fördelning med avseende på summan.
Det finns många absorptionslagar bland flera referenser, några av de mest kända är:
TILL. (A + B) = A
TILL. (INTE A + B) = A. B
INTE A (A + B) = INTE A. B
(A + B). (A + INTE B) = A
A + A. B = A
A + INTE A. B = A + B.
INTE A + A. B = INTE A + B
TILL. B + A. INTE B = A
De är transformationslagar som hanterar par variabler som interagerar mellan de definierade operationerna i boolsk algebra (+.).
INTE (A. B) = INTE A + INTE B
INTE (A + B) = INTE A. INTE B
A + B = INTE (INTE A + INTE B)
TILL. B = INTE (INTE A. INTE B)
Alla postulat och satser har dualitetens fakultet. Detta innebär att genom utbyte av variabler och operationer blir den resulterande propositionen verifierad. Det vill säga när man byter 0 mot 1 och AND för OR eller tvärtom; ett uttryck skapas som också kommer att vara helt giltigt.
Till exempel om du tar postulatet
1. 0 = 0
Och dualitet tillämpas
0 + 1 = 1
Ett annat helt giltigt postulat erhålls.
Karnaugh-kartan är ett diagram som används i boolesk algebra för att förenkla logiska funktioner. Den består av ett tvådimensionellt arrangemang som liknar sanningstabellerna för propositionell logik. Uppgifterna från sanningstabellerna kan fångas direkt på Karnaugh-kartan.
Karnaugh-kartan rymmer processer med upp till 6 variabler. För funktioner med ett högre antal variabler rekommenderas användning av programvara för att förenkla processen.
Föreslogs 1953 av Maurice Karnaugh, det grundades som ett fast verktyg inom området boolesk algebra, eftersom dess implementering synkroniserar mänsklig potential med behovet av att förenkla booleska uttryck, en nyckelaspekt i flytningen av digitala processer..
Boolesk algebra används för att minska logiska grindar i en krets, där prioriteten är att få kretsens komplexitet eller nivå till sitt lägsta möjliga uttryck. Detta beror på den beräkningsfördröjning som varje port antar.
I följande exempel kommer vi att observera förenklingen av ett logiskt uttryck till dess minimala uttryck, med användning av satser och postulat för boolesk algebra.
INTE (AB + A + B). INTE (A + INTE B)
INTE [A (B + 1) + B]. INTE (A + INTE B); Factoring A med en gemensam faktor.
INTE [A (1) + B]. INTE (A + INTE B); Med sats A + 1 = 1.
INTE (A + B). INTE (A + INTE B); av teorem A. 1 = A
(INTE A. INTE B). [ NOTERA . INTE (INTE B)];
Enligt Morgan's teorem NOT (A + B) = INTE A. INTE B
(INTE A. INTE B). (INTE A. B); Genom dubbel negationssats INTE (INTE A) = A
NOTERA . INTE B. NOTERA . B; Algebraisk gruppering.
NOTERA . NOTERA . INTE B. B; Produktens kommutativitet A. B = B. TILL
NOTERA . INTE B. B; Av teorem A. A = A
NOTERA . 0; Av teorem A. INTE A = 0
0; Av teorem A. 0 = 0
TILL. B. C + INTE A + A. INTE B. C
TILL. C. (B + INTE B) + INTE A; Factoring (A.C) med gemensam faktor.
TILL. C. (1) + INTE A; Enligt sats A + INTE A = 1
TILL. C + INTE A; Genom regeln om noll sats och enhet 1. A = A
INTE A + C ; Enligt Morgan A + INTE A. B = A + B.
För denna lösning måste Morgans lag utvidgas till att definiera:
INTE (INTE A). C + NOT A = INTE A + C
Eftersom INTE (INTE A) = A genom involution.
NOTERA . INTE B. INTE C + INTE A. INTE B. C + INTE A. INTE C till sitt minsta uttryck
NOTERA . INTE B. (INTE C + C) + INTE A. INTE C; Factoring (INTE A. INTE B) med gemensam faktor
NOTERA . INTE B. (1) + INTE A. INTE C; Enligt sats A + INTE A = 1
(INTE A. INTE B) + (INTE A. INTE C); Genom regeln om noll sats och enhet 1. A = A
INTE A (INTE B + INTE C); Factoring INTE A med en gemensam faktor
NOTERA . INTE (B. C); Enligt Morgan lagar INTE (A. B) = INTE A + INTE B
INTE [A + (B. C)] Enligt Morgan lagar INTE (A. B) = INTE A + INTE B
Något av de fyra fetstilta alternativen representerar en möjlig lösning för att minska kretsnivån
(A. INTE B. C + A. INTE B. B. D + INTE A. INTE B). C
(A. INTE B. C + A. 0. D + INTE A. INTE B). C; Av teorem A. INTE A = 0
(A. INTE B. C + 0 + INTE A. INTE B). C; Av teorem A. 0 = 0
(A. INTE B. C + INTE A. INTE B). C; Med sats A + 0 = A.
TILL. INTE B. C. C + INTE A. INTE B. C; Genom produktens distribution med avseende på summan
TILL. INTE B. C + INTE A. INTE B. C; Av teorem A. A = A
INTE B. C (A + INTE A) ; Factoring (INTE B. C) med gemensam faktor
INTE B. C (1); Enligt sats A + INTE A = 1
INTE B. C; Genom regeln om noll sats och enhet 1. A = A
Ingen har kommenterat den här artikeln än.