Invers matrisberäkning och löst övning

De Omvänd matris för en given matris är det matrisen som multipliceras med originalet resulterar i identitetsmatrisen. Den inversa matrisen är användbar för att lösa system med linjära ekvationer, därav vikten av att veta hur man beräknar den.

Matriser är mycket användbara inom fysik, teknik och matematik, eftersom de är ett kompakt verktyg för att lösa komplexa problem. Användningen av matriser förbättras när de är inverterbara och deras inversa är också känd.

Inom områdena grafisk bearbetning, Big Data, Data Mining, Machine Learning och andra används effektiva och snabba algoritmer för att utvärdera den inversa matrisen för nxn-matriser med mycket stora n, i storleksordningen tusentals eller miljoner.

För att illustrera användningen av den inversa matrisen vid hantering av ett system med linjära ekvationer, börjar vi med det enklaste fallet av alla: 1 × 1-matriser.

Det enklaste fallet: en linjär ekvation för en enda variabel anses: 2 x = 10.

Tanken är att hitta värdet på x, men det kommer att göras "matrisvis". 

Matrisen M = (2) som multiplicerar vektorn (x) är en 1 × 1 matris som resulterar i vektorn (10):

M (x) = (10)

Det inversa av matrisen M betecknas med M^-1.

Det allmänna sättet att skriva detta "linjära system" är:

M X = B, där X är vektorn (x) och B är vektorn (10).

Per definition är den inversa matrisen en som multipliceras med den ursprungliga matrisen resulterar i identitetsmatrisen I:

M^-1 M = jag

I det aktuella fallet matrisen M^-1 är matrisen (½), det vill säga M^-1 = (½) sedan M^-1 M = (½) (2) = (1) = I

För att hitta den okända vektorn X = (x) i den föreslagna ekvationen multipliceras båda delarna med den inversa matrisen:

M^-1 M (x) = M^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

En jämlikhet med två vektorer har uppnåtts, vilka är lika bara när deras motsvarande element är lika, det vill säga x = 5.

Beräkning av det inversa av en matris

Vad som motiverar beräkningen av den inversa matrisen är att hitta en universell metod för lösning av linjära system såsom följande 2 × 2-system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Efter stegen i fallet 1 × 1, som studerades i föregående avsnitt, skriver vi ekvationssystemet i matrisform:

Observera att detta system är skrivet i kompakt vektornotation enligt följande:

M X = B

var

Nästa steg är att hitta det inversa av M.

Metod 1: Använd Gaussisk eliminering

Den Gaussiska eliminationsmetoden kommer att tillämpas. Vilket består av att göra elementära operationer på raderna i matrisen, dessa operationer är:

- Multiplicera en rad med ett nummer som inte är noll.

- Lägg till eller subtrahera från en rad en annan rad eller multipeln från en annan rad.

- Byt raderna.

Målet är att genom dessa operationer konvertera den ursprungliga matrisen till identitetsmatrisen. 

När detta görs tillämpas exakt samma operationer i identitetsmatrisen i matris M. När efter flera operationer på raderna M transformeras till den enhetliga matrisen, kommer den som ursprungligen var enheten att omvandlas till den inversa matrisen för M, det vill säga M^-1.

1- Vi börjar processen med att skriva matrisen M och bredvid den enhetsmatrisen:

2- Vi lägger till de två raderna och vi lägger resultatet i andra raden, på detta sätt får vi en noll i det första elementet i den andra raden:

3- Vi multiplicerar den andra raden med -1 för att få 0 och 1 i den andra raden:

4- Den första raden multipliceras med ½:

5- Det andra och det första läggs till och resultatet placeras i första raden:

6- För att avsluta processen multiplicerar du den första raden med 2 för att få identitetsmatrisen i den första raden och den inversa matrisen för den ursprungliga matrisen M i den andra:

Nämligen:

Systemlösning

När den inversa matrisen har uppnåtts fortsätter vi med att lösa ekvationssystemet genom att tillämpa den inversa matrisen på båda delarna av den kompakta vektorekvationen:

M^-1M X = M^-1B

X = M^-1B

Som uttryckligen ser ut så här:

Därefter utförs matrixmultiplikation för att erhålla vektor X:

Metod 2: använda bifogad matris

I denna andra metod beräknas den inversa matrisen med utgångspunkt från den angränsande matrisen i den ursprungliga matrisen TILL.

Antag att en matris A ges av:

var till_{I j} är elementet i raden i och kolumnen j av matrisen TILL.

Matrisen intill varandra TILL det kommer att kallas Adj (A) och dess element är:

annons_{I j} = (-1)^{(i + j)} ¦Ai, j¦

var Ai, j är den kompletterande mindre matrisen erhållen genom att rad i och kolumn j elimineras från den ursprungliga matrisen TILL. Staplarna ¦ ¦ indikerar att determinanten beräknas, det vill säga ¦Ai, j¦ är determinanten för den kompletterande mindre matrisen.

Invers matrisformel

Formeln för att hitta den inversa matrisen med början från den angränsande matrisen i den ursprungliga matrisen är följande:

Det vill säga den inversa matrisen av TILL, TILL^-1, är införlivandet av adjoint av TILL dividerat med determinanten för TILL.

Transponera TILL^Tav en matris TILL är den som erhålls genom att byta rader mot kolumner, det vill säga den första raden blir den första kolumnen och den andra raden blir den andra kolumnen och så vidare tills n-raderna i den ursprungliga matrisen är färdiga.

Övningen löst

Låt matrisen A vara följande:

Varje element i den angränsande matrisen av A beräknas: Adj (A)

Resultatet är att den angränsande matrisen för A, Adj (A) är följande:

Därefter beräknas determinanten för matris A, det (A):

Slutligen erhålls den inversa matrisen för A:

Referenser

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkänn publikation.
2. Awol Assen (2013) En studie om beräkning av determinanter av en 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introduktion till linjär algebra. ESIC Ledare.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Students Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy press begränsad.
7. Matris. Lap Lambert Academic Publishing.