De Eulers metod är den mest grundläggande och enkla av de förfaranden som används för att hitta ungefärliga numeriska lösningar på en vanlig differentialekvation av första ordningen, förutsatt att dess ursprungliga tillstånd är känt.
En vanlig differentialekvation (ODE) är ekvationen som relaterar en okänd funktion av en enda oberoende variabel med dess derivat.
Om det största derivatet som visas i ekvationen är av grad ett, är det en vanlig differentialekvation av den första graden.
Det mest allmänna sättet att skriva en ekvation av den första graden är:
x = x0
y = y0
Artikelindex
Tanken med Eulers metod är att hitta en numerisk lösning på differentialekvationen i intervallet mellan X0 och XF .
Först diskretiseras intervallet i n + 1 poäng:
x0, x1, xtvå, x3..., xn
Som erhålls så här:
xi= x0+ih
Var h är delintervallens bredd eller steg:
Med det initiala villkoret är det också möjligt att känna till derivatet i början:
y '(xeller) = f (xeller, Yeller)
Detta derivat representerar lutningen för tangentlinjen till kurvan för funktionen y (x) exakt vid punkten:
Ao = (xeller, Yeller)
Därefter görs en ungefärlig förutsägelse av värdet på funktionen y (x) vid följande punkt:
y (x1) ≈ och1
Y1 = Yeller +(x1- xeller) f (xeller, Yeller) = ocheller + h f (xeller, Yeller)
Nästa ungefärliga punkt i lösningen har sedan erhållits, vilket skulle motsvara:
TILL1 = (x1, Y1)
Förfarandet upprepas för att erhålla successiva poäng
TILLtvå, TILL3..., xn
I figuren som visas i början representerar den blå kurvan den exakta lösningen av differentialekvationen, och den röda representerar de på varandra följande ungefärliga punkterna erhållna med Euler-proceduren.
Jag) Låt differentialekvationen vara:
Med det initiala villkoret x = a = 0; Ytill= 1
Med hjälp av Eulers metod får du en ungefärlig lösning på Y i koordinaten X = b = 0,5, dela upp intervallet [a, b] i n = 5 delar.
De numeriska resultaten sammanfattas enligt följande:
Från varifrån man drar slutsatsen att lösningen Y för värdet 0,5 är 1,4851.
Obs: för att utföra beräkningarna, Smath-studio, gratis att använda gratisprogram.
II) Fortsätt med differentialekvationen från övning I), hitta den exakta lösningen och jämför den med resultatet erhållet med Eulers metod. Hitta felet eller skillnaden mellan det exakta och ungefärliga resultatet.
Den exakta lösningen är inte särskilt svår att hitta. Derivat av funktionen sin (x) är känd för att vara funktionen cos (x). Därför blir lösningen y (x):
y (x) = sin x + C
För att det initiala villkoret ska vara uppfyllt och (0) = 1 måste konstanten C vara lika med 1. Det exakta resultatet jämförs sedan med det ungefärliga:
Man drar slutsatsen att approximationen i det beräknade intervallet har tre signifikanta precisionstal.
III) Tänk på differentialekvationen och dess initiala villkor som anges nedan:
y '(x) = - ytvå
Med det initiala villkoret x0 = 0; Y0 = 1
Använd Eulers metod för att hitta ungefärliga värden för lösningen y (x) i intervallet x = [0, 1,5]. Använd steg h = 0,1.
Eulers metod är mycket lämplig att användas med ett kalkylark. I det här fallet använder vi kalkylbladet för geogebra, ett gratis och gratis att använda program.
Kalkylbladet i figuren visar tre kolumner (A, B, C), den första är variabeln x , den andra kolumnen representerar variabeln Y, och den tredje kolumnen derivatet Y '.
Rad 2 innehåller initialvärdena för X, Y, Y ' .
Värdesteget 0.1 har placerats i den absoluta positionscellen ($ D $ 4).
Det ursprungliga värdet av y0 är i cell B2 och y1 är i cell B3. För att beräkna y1 formeln används:
Y1 = Yeller +(x1- xeller) f (xeller, Yeller) = ocheller + h f (xeller, Yeller)
Denna kalkylformel skulle vara nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
På samma sätt skulle y2 finnas i cell B4 och dess formel visas i följande figur:
Figuren visar också diagrammet för den exakta lösningen och punkterna A, B, ..., P för den ungefärliga lösningen enligt Eulers metod.
Klassisk dynamik utvecklades av Isaac Newton (1643 - 1727). Den ursprungliga motivationen från Leonard Euler (1707 - 1783) för att utveckla sin metod var just att lösa ekvationen av Newtons andra lag i olika fysiska situationer.
Newtons andra lag uttrycks vanligtvis som en differentiell ekvation av andra graden:
Var x representerar positionen för ett objekt just nu t. Nämnda objekt har en massa m och utsätts för en kraft F. Funktionen F är relaterad till kraft och massa enligt följande:
För att tillämpa Eulers metod krävs initialvärdena för tiden t, hastighet v och position x.
Följande tabell förklarar hur man med utgångspunkt från initialvärdena t1, v1, x1 en approximation av hastigheten v2 och positionen x2 kan erhållas, för närvarande t2 = t1 + At, där At representerar en liten ökning och motsvarar steget i metoden för Euler.
IV) Ett av de grundläggande problemen i mekaniken är ett massblock M bundet till en fjäder (eller fjäder) med elastisk konstant K.
Newtons andra lag för detta problem skulle se ut så här:
I det här exemplet tar vi för enkelhetens del M = 1 och K = 1. Hitta ungefärliga lösningar att positionera x och hastighet v enligt Eulers metod på tidsintervallet [0, π / 2] som delar upp intervallet i 12 delar.
Ta 0 som första ögonblick, starthastighet 0 och startposition 1.
De numeriska resultaten visas i följande tabell:
Graferna för position och hastighet mellan ögonblick 0 och 1,44 visas också..
Använd ett kalkylblad för att bestämma en ungefärlig lösning med Eulers metod för differentialekvationen:
y '= - Exp (-y) med de initiala villkoren x = 0, y = -1 i intervallet x = [0, 1]
Börja med ett steg på 0,1. Plotta resultatet.
Använd ett kalkylblad för att hitta numeriska lösningar på följande kvadratiska ekvation, där y är en funktion av den oberoende variabeln t.
y "= - 1 / y² med startvillkoret t = 0; y (0) = 0,5; y '(0) = 0
Hitta lösningen på intervallet [0,5; 1.0] med användning av ett steg av 0,05.
Plotta resultatet: y vs t; y 'vs t
Ingen har kommenterat den här artikeln än.