De primtal, Även kallade absoluta primtal, de är de naturliga tal som bara är delbara mellan sig själva och 1. Denna kategori innehåller siffror som: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och många fler.
Istället är ett sammansatt tal delbart av sig själv med 1 och minst ett annat nummer. Vi har till exempel 12, som är delbart med 1, 2, 4, 6 och 12. Enligt konvention ingår inte 1 i listan över primtal eller i förteckningen över föreningar..
Kunskapen om primtal går tillbaka till antiken; de gamla egyptierna använde dem redan och de var säkert kända långt tidigare.
Dessa siffror är mycket viktiga, eftersom alla naturliga tal kan representeras av primtalens produkt, varvid denna representation är unik, förutom i ordning av faktorer.
Detta faktum är helt etablerat i en sats som kallas Den grundläggande satsen för aritmetik, som säger att siffrorna som inte är primära, nödvändigtvis består av produkter som är nummer.
Artikelindex
Här är huvudegenskaperna för primtal:
-De är oändliga, eftersom oavsett hur stort ett primtal är kan du alltid hitta en större.
-Om ett primtal sid delar inte exakt till ett annat nummer till, det sägs då det sid Y till de är kusiner till varandra. När detta händer är den enda gemensamma delaren som båda har 1.
Det är inte nödvändigt att till var absolut kusin. Till exempel är 5 prime, och även om 12 inte är, är båda siffrorna primära för varandra, eftersom båda har 1 som en gemensam delare..
-När ett primtal sid dela till en kraft av tal n, dela också n. Låt oss överväga 100, vilket är en effekt på 10, specifikt 10två. Det händer att 2 delar både 100 och 10.
-Alla primtal är udda förutom 2, därför är dess sista siffra 1, 3, 7 eller 9. 5 ingår inte, för även om det är udda och primt är det aldrig den sista siffran i ett annat primtal. Faktum är att alla siffror som slutar på 5 är multiplar av detta och därför är de inte primära.
-Ja sid är primer och delare av produkten av två tal a.b, sedan sid dela upp en av dem. Till exempel delar primtalet 3 produkten 9 x 11 = 99, eftersom 3 är en delare på 9.
De primality är namnet på kvaliteten på att vara främsta. Tja, den franska matematikern Pierre de Fermat (1601-1665) hittade ett sätt att verifiera ett tals primalitet, i den så kallade Fermats lilla sats, Det säger så:
"Givet ett primärt naturligt tal sid och alla naturliga tal till större än 0 är det sant att tillsid - till är en multipel av sid, så länge som sid var kusin ".
Vi kan bekräfta detta med små siffror, antag till exempel det p = 4, att vi redan vet att det inte är primt och a = 6:
64 - 6 = 1296 - 6 = 1290
Talet 1290 är inte delbart exakt med 4, därför är 4 inte ett primtal.
Låt oss göra testet nu med p = 5, vilket är primt och a = 6:
65 - 6 = 7766 - 6 = 7760
7760 är delbart med 5, eftersom alla tal som slutar på 0 eller 5 är. Faktum är att 7760/5 = 1554. Eftersom Fermats lilla sats håller kan vi se till att 5 är ett primtal.
Bevisen genom satsen är effektiv och direkt med små siffror, där operationen är lätt att utföra, men vad ska vi göra om vi blir ombedd att ta reda på hur stort ett antal är?
I det fallet delas numret successivt upp mellan alla mindre primtal tills någon exakt uppdelning hittas eller kvoten är mindre än delaren.
Om någon delning är exakt betyder det att talet är sammansatt och om kvoten är mindre än delaren betyder det att talet är primt. Vi kommer att omsätta det i löst övning 2.
Det finns oändliga primtal och det finns ingen enda formel för att bestämma dem. Men tittar på några primtal som dessa:
3, 7, 31, 127 ...
Det observeras att de har formen 2n - 1, med n = 2, 3, 5, 7, 9 ... Vi ser till det:
tvåtvå - 1 = 4 - 1 = 3; två3 - 1 = 8 - 1 = 7; två5 - 1 = 32 - 1 = 31; två7 - 1 = 128 - 1 = 127
Men vi kan inte försäkra er om att i allmänhet 2n - 1 är primär, eftersom det finns vissa värden på n för vilken det inte fungerar, till exempel 4:
två4 - 1 = 16 - 1 = 15
Och siffran 15 är inte ett primtal, eftersom det slutar med 5. Men ett av de största kända primtalen, som hittades genom datorberäkningar, har formenn - 1 med:
n = 57,885,161
De Mersenne-formel försäkrar oss att 2sid - 1 är alltid prime, så länge som sid vara kusin också. Till exempel är 31 prime, så 2 är säkert31 - 1 är också:
två31 - 1 = 2.147.483.647
Formeln låter dig dock bestämma endast några primtal, inte alla.
Följande polynom tillåter oss att hitta primtal så länge n är mellan 0 och 39:
P (n) = ntvå + n + 41
Senare, i avsnittet om lösta övningar, finns ett exempel på dess användning.
Eratosthenes var en forntida grekisk fysiker och matematiker som bodde på 300-talet f.Kr. Han utformade en grafisk metod för att hitta primtal som vi kan omsätta i praktiken med små siffror, det kallas Eratosthenes sil (en sikt är som en sikt).
-Siffrorna placeras i en tabell som den som visas i animationen.
-Därefter är de jämna siffrorna streckade över, förutom 2, som vi vet är primära. Alla andra är multiplar av detta och är därför inte prima.
-Multiplarna 3, 5, 7 och 11 är också markerade, med undantag för alla eftersom vi vet att de är primära.
-Multiplarna av 4, 6, 8, 9 och 10 är redan markerade, eftersom de är föreningar och därför multiplar av några av de angivna primtallarna.
-Slutligen är siffrorna som är omärkta primära.
Använd Euler-polynomet för primtal och hitta tre nummer större än 100.
Detta är det polynom som Euler föreslog att hitta primtal, som fungerar för värdena n mellan 0 och 39.
P (n) = ntvå + n + 41
Genom försök och fel väljer vi ett värde på n, till exempel n = 8:
P (8) = 8två + 8 + 41 = 113
Eftersom n = 8 ger ett primtal som är större än 100, utvärderar vi polynomet för n = 9 och n = 10:
P (9) = 9två + 9 + 41 = 131
P (10) = 10två + 10 + 41 = 151
Ta reda på om följande siffror är primära:
a) 13
b) 191
13 är tillräckligt liten för att använda Fermats lilla sats och hjälp av miniräknare.
Vi använder a = 2 så att siffrorna inte är för stora, även om a = 3, 4 eller 5 också kan användas:
två13 - 2 = 8190
8190 är delbart med 2, eftersom det är jämnt, därför är 13 prime. Läsaren kan bekräfta det genom att göra samma test med a = 3.
191 är för stort för att bevisa med satsen och en gemensam kalkylator, men vi kan ta reda på uppdelningen mellan varje primtal. Vi utelämnar att dela med 2 eftersom 191 inte är jämn och delningen inte kommer att vara exakt eller kvoten mindre än 2.
Vi försöker dela med 3:
191/3 = 63,666 ...
Och det ger inte exakt, inte heller är kvoten mindre än delaren (63 666 ... är större än 3)
Vi fortsätter sålunda att dela upp 191 mellan prim 5, 7, 11, 13 och den exakta uppdelningen uppnås inte, inte heller kvoten mindre än delaren. Tills den divideras med 17:
191/17 = 11, 2352 ...
Eftersom det inte är exakt och 11,2352 ... är mindre än 17, är siffran 191 en prime.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.