De samma plan de tillhör alla samma plan. Två punkter är alltid i samma plan, eftersom dessa punkter definierar en linje genom vilken oändliga plan passerar. Sedan tillhör båda punkterna var och en av de plan som passerar genom linjen och därför kommer de alltid att vara i samma plan.
Å andra sidan definierar tre punkter ett enda plan, varifrån det följer att tre punkter alltid kommer att vara i samma plan som det plan de bestämmer..
Mer än tre poäng kan vara i samma plan eller inte. Till exempel, i figur 1, är punkterna A, B, C och D i samma plan som (Ω) -planet. Men E, F och G är inte i samma plan som (Ω), även om de är i samma plan som det definierade planet.
Artikelindex
Ekvationen av ett plan bestämt av tre kända punkter A, B, C är ett matematiskt förhållande som garanterar att varje punkt P med generiska koordinater (x, y, z) som uppfyller ekvationen tillhör nämnda plan.
Det föregående uttalandet är ekvivalent med att säga att om P för koordinaterna (x, y, z) uppfyller ekvationen för planet, kommer nämnda punkt att vara i samma plan som de tre punkterna A, B, C som bestämde planet.
För att hitta ekvationen för detta plan, låt oss börja med att hitta vektorerna AB Y AC:
AB = [Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az]
AC = [Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az]
Vektorprodukten AB X AC resulterar i en vektor vinkelrät eller normal mot planet bestämd av punkterna A, B, C.
Varje punkt P för koordinaterna (x, y, z) tillhör planet om vektorn AP är vinkelrätt mot vektorn AB X AC, vilket är garanterat om:
AP • (AB X AC) = 0
Detta motsvarar att säga att den tredubbla produkten av AP, AB Y AC är inget. Ovanstående ekvation kan skrivas i matrisform:
Låt punkterna A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) och D (till, 0, 1). Vilket värde ska det ha till så att de fyra punkterna är i samma plan?
För att hitta värdet på a måste punkt D vara en del av planet bestämt av A, B och C, vilket garanteras om det uppfyller ekvationen för planet.
Utveckla den determinant som vi har:
a (-1-1) + 1 (-1 - 7) -1 (1-7) = -2a -8 + 6 = -2a - 2 = 0
Ovanstående ekvation säger oss det a = -1 så att jämställdhet uppfylls. Med andra ord, det enda sättet som punkt D (till, 0,1) är i samma plan som punkterna A, B och C är det till värt -1. Annars kommer det inte att vara i samma plan.
Ett plan korsar de kartesiska axlarna X, Y, Z vid 1, 2 respektive 3. Korsningen av detta plan med axlarna bestämmer punkterna A, B och C. Hitta komponenten Dz för en punkt D, vars kartesiska komponenter är:
D (-Dz, Dz + 1, Dz)
Förutsatt att D är i samma plan som punkterna A, B och C.
När avlyssningarna av ett plan med de kartesiska axlarna är kända kan den segmentformade planens ekvation användas:
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
Eftersom punkt D måste tillhöra det föregående planet måste den:
-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1
Nämligen:
-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1
Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½
Dz (-1 / 6⅙) = ½
Dz = -3
Av ovanstående följer att punkt D (3, -2, -3) är i samma plan som punkterna A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) och C (0, 0, 3).
Bestäm om punkterna A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) och D (2, 3, 1) är av samma plan.
Vi bildar matrisen vars rader är koordinaterna för D-A, B-A och C-A. Därefter beräknas determinanten och det verifieras om den är noll eller inte.
Efter alla beräkningar dras slutsatsen att de är i samma plan.
Det finns två rader i rymden. En av dem är linjen (R) vars parametriska ekvation är:
(R): x = 1 + 2 A; y = 1 - λ; z = 1
Och den andra är linjen (S) vars ekvation är:
(S): x + 2 y = 1; z = -1
Visa att (R) och (S) är linjära linjer, det vill säga de ligger i samma plan.
Låt oss börja med att godtyckligt ta två punkter på linjen (R) och två på linjen (S):
Rak (R): λ = 0; A (1, 1, 1) och A = 1; B (3, 0, 1)
Låt oss göra x = 0 på linjen (S)=> y = ½; C (0, 1/2, -1). Och å andra sidan, om vi gör det y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).
Det vill säga, vi har tagit punkterna A och B som tillhör linjen (R) och punkterna C och D som hör till linjen (S). Om dessa punkter är i samma plan kommer de två raderna också att vara i samma plan.
Nu väljer vi punkt A som led och sedan hittar vi koordinaterna för vektorerna AB, AC Y AD. På detta sätt får du:
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
D - A: (1-1, 0-1, -1 - 1) => AD= (0, -1, -2)
Nästa steg är att konstruera och beräkna determinanten vars första rad är koefficienterna för vektorn AB, den andra raden är de av AC och den tredje raden i vektorn AD:
Eftersom determinanten visar sig vara noll, kan vi dra slutsatsen att de fyra punkterna är i samma plan. Dessutom kan det anges att linjerna (R) och (S) också är i samma plan.
Linjerna (R) och (S) är i samma plan, vilket visas i övning 3. Hitta ekvationen för planet som innehåller dem.
Punkterna A, B, C definierar helt det planet, men vi vill införa att någon punkt X i koordinaterna (x, y, z) tillhör samma.
X - A: (x-1, y -1, z - 1) => YXA= (x-1, y -1, z - 1)
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
För att X ska tillhöra planet definierat av A, B, C och i vilket linjerna (R) och (S) finns, är det nödvändigt att determinanten bildas i sin första rad av komponenterna i YXA, i andra av de av AB och i det tredje av de av AC:
Efter detta resultat grupperar vi på detta sätt:
2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0
Och omedelbart ser du att det kan skrivas om så här:
x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0
Därför är x + 2y - z = 2 ekvationen för planet som innehåller linjerna (R) och (S).
Ingen har kommenterat den här artikeln än.