De Riemann summa är namnet på den ungefärliga beräkningen av en bestämd integral, med hjälp av en diskret summering med ett begränsat antal termer. En vanlig applikation är approximationen av funktionsområdet i en graf.
Det var den tyska matematikern Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) som först erbjöd en noggrann definition av en integrals funktion i ett givet intervall. Han gjorde det känt i en artikel publicerad 1854.
Riemann-summan definieras på en funktion y = f (x), där x tillhör det slutna intervallet [a, b]. På detta intervall görs en partition P av n-element:
P = x0= a, x1, xtvå,..., xn= b
Detta innebär att intervallet är uppdelat enligt följande:
xk-1 ≤ tk ≤ xk
Figur 1 visar grafiskt Riemann-summan av funktionen f på intervallet [x0, x4] på en partition med fyra delintervall, de grå rektanglarna.
Summan representerar den totala arean av rektanglarna och resultatet av denna summa approximerar numeriskt arean under kurvan f, mellan abscissen x = x0 y x = x4.
Naturligtvis förbättras approximationen till området under kurvan kraftigt som antalet n partitioner är större. På detta sätt konvergerar summan till området under kurvan, när talet n av partitioner tenderar till oändlighet.
Artikelindex
Riemann-summan av funktionen f (x) på partitionen:
P = x0= a, x1, xtvå,..., xn= b
Definierat på intervallet [a, b], det ges av:
S (P, f) = ∑k = 1n medk) (xk - xk-1)
Där Tk är ett värde på intervallet [xk, xk-1]. I Riemann-summan används vanligtvis regelbundna intervall med bredd Δx = (b - a) / n, där a och b är minimi- och maximivärdena för abscissan, medan n är antalet underavdelningar.
I så fall Riemann rätt summa det är:
Sd (f, n) = [f (a + Ax) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Ax) + f (b)] * Ax
Medan Riemann lämnade summan uttrycks som:
Om (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) + ... + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Slutligen centrala Riemann summan det är:
Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Beroende på var punkten t finnsk på intervallet [xk, xk-1] Riemann-summan kan överskatta eller underskatta det exakta värdet av området under kurvan för funktionen y = f (x). Med andra ord kan rektanglarna skjuta ut från kurvan eller ligga något under den..
Huvudegenskapen för Riemann-summan och från vilken dess betydelse härrör, är att om antalet underavdelningar tenderar att vara oändligt, så konverterar resultatet av summan till den bestämda integralen av funktionen:
Beräkna värdet för den bestämda integralen mellan a = -2 till b = +2 för funktionen:
f (x) = xtvå
Använd en Riemann-summa. För att göra detta, hitta först summan för n vanliga partitioner av intervallet [a, b] och ta sedan den matematiska gränsen för det fall att antalet partitioner tenderar till oändlighet.
Det här är stegen att följa:
-Definiera först partitionernas intervall som:
Ax = (b - a) / n.
-Då ser Riemann-summan från höger motsvarande funktionen f (x) ut så här:
[-2 + (4i / n)]två = 4 - (16 i / n) + (4 / n)två itvå
-Och sedan ersätts det noggrant i summeringen:
-Nästa steg är att separera summeringarna och ta de konstanta mängderna som en gemensam faktor för varje summa. Det är nödvändigt att ta hänsyn till att indexet är i, därför siffrorna och termerna med n anses konstanta:
-Varje summering utvärderas, eftersom det finns lämpliga uttryck för var och en av dem. Till exempel ger den första summan n:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ntvå
-Slutligen har vi att integralen som vi vill beräkna är:
= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333
Läsaren kan verifiera att detta är det exakta resultatet, vilket kan erhållas genom att lösa den obestämda integralen och utvärdera gränserna för integration med Barrows regel.
Bestäm ungefär området under funktionen:
f (x) = (1 / √ (2π)) e(-xtvå/två)
Ange x = -1 och x = + 1 med hjälp av en central Riemann-summa med 10 partitioner. Jämför med det exakta resultatet och beräkna skillnaden i procent.
Steget eller steget mellan två på varandra följande diskreta värden är:
Ax = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Så partitionen P på vilken rektanglarna är definierade ser ut så här:
P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0
Men eftersom det som önskas är den centrala summan kommer funktionen f (x) att utvärderas vid mittpunkterna för delintervall, det vill säga i uppsättningen:
T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9.
Den (centrala) Riemann-summan ser ut så här:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Eftersom funktionen f är symmetrisk är det möjligt att minska summan till endast 5 termer och resultatet multipliceras med två:
S = 2 * 0,2 * f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)
S = 2 * 0,2 * 0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683
Funktionen som ges i detta exempel är ingen ringare än den välkända Gaussiska klockan (normaliserad, med medelvärdet lika med noll och standardavvikelsen en). Arean under kurvan i intervallet [-1,1] för denna funktion är känd för att vara 0,6827.
Detta innebär att den ungefärliga lösningen med bara tio termer matchar den exakta lösningen med tre decimaler. Procentfelet mellan den ungefärliga och den exakta integralen är 0,07%.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.