De uppsättningsteori Det är en gren av logik-matematik som ansvarar för studien av relationerna mellan enheter som kallas uppsättningar. Uppsättningarna kännetecknas av att de är samlingar av objekt av samma natur. Dessa objekt är elementen i uppsättningen och kan vara: siffror, bokstäver, geometriska figurer, ord som representerar objekt, objekten själva och andra.
Det var Georg Cantor, mot slutet av 1800-talet, som föreslog uppsättningsteori. Medan andra anmärkningsvärda matematiker på 1900-talet gjorde sin formalisering: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel bland andra..
Venn-diagram är det grafiska sättet att representera en uppsättning, och den består av en stängd planfigur inom vilken uppsättningen är.
Till exempel visas i figur 1 två uppsättningar A och B, som har element gemensamt, de element som är gemensamma för A och B. Dessa bildar en ny uppsättning som kallas skärningsuppsättningen A och B, som är skriven i form symbolisk följer:
A ∩ B
Artikelindex
Uppsättningen är ett primitivt begrepp som det är i geometri begreppet punkt, linje eller plan. Det finns inget bättre sätt att uttrycka konceptet än att påpeka exempel:
Set E bildas av färgerna på Spaniens flagga. Detta sätt att uttrycka uppsättningen kallas förståelse. Samma uppsättning E skriven av förlängningen är:
E = röd, gul
I detta fall är rött och gult element i uppsättning E. Det bör noteras att elementen är listade i klammerparenteser och inte upprepas. När det gäller den spanska flaggan finns det tre färgade ränder (röd, gul, röd), varav två upprepas, men elementen upprepas inte när uppsättningen uttrycks..
Antag att uppsättningen V bildad av de tre första vokalbokstäverna:
V = a, e, i
Kraftuppsättningen V, betecknad med P (V) är uppsättningen av alla uppsättningar som kan bildas med elementen i V:
P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i
Det är en uppsättning där dess element räknas. Exempel på ändliga uppsättningar är bokstäverna i det spanska alfabetet, vokalerna på spanska, planeterna i solsystemet, bland andra. Antalet element i en ändlig uppsättning kallas dess kardinalitet.
En oändlig uppsättning förstås vara allt som antalet element är oräkneligt, eftersom oavsett hur stort antalet element kan vara, är det alltid möjligt att hitta fler element.
Ett exempel på en oändlig uppsättning är uppsättningen naturliga tal N, som i omfattande form uttrycks enligt följande:
N = 1, 2, 3, 4, 5, .... Är uppenbarligen en oändlig uppsättning, eftersom oavsett hur stort ett naturligt tal kan vara kan det näst största alltid hittas i en oändlig process. Det är uppenbart att en oändlig uppsättning är kardinalitet ∞.
Det är uppsättningen som inte innehåller något element. Den tomma uppsättningen V betecknas med Ø eller med ett par tangenter utan element inuti:
V = = Ø.
Den tomma uppsättningen är unik, därför måste det vara fel att säga "en tom uppsättning", rätt form är att säga "den tomma uppsättningen".
Bland egenskaperna för den tomma uppsättningen har vi att det är en delmängd av vilken uppsättning som helst:
Ø ⊂ A
Vidare, om en uppsättning är en delmängd av den tomma uppsättningen, kommer nödvändigtvis nämnda uppsättning att vara vakuumet:
A ⊂ Ø ⇔ A = Ø
En enhetsuppsättning är valfri uppsättning som innehåller ett enda element. Till exempel är uppsättningen av naturliga satelliter på jorden en enhetlig uppsättning, vars enda element är månen. Uppsättningen B med heltal mindre än 2 och större än noll har bara element 1, därför är det en enhetlig uppsättning.
En uppsättning är binär om den bara har två element. Till exempel uppsättningen X, så att x är en reell tallösning av x ^ 2 = 2. Denna uppsättning som förlängning är skriven så här:
X = -√2, + √2
Den universella uppsättningen är en uppsättning som innehåller andra uppsättningar av samma typ eller natur. Till exempel är den universella uppsättningen naturliga tal uppsättningen av reella tal. Men de verkliga siffrorna är en universell uppsättning även av heltal och rationella tal.
I församlingar kan olika typer av förhållanden upprättas mellan dem och deras element. Om två uppsättningar A och B har exakt samma element mellan sig, upprättas ett jämställdhetsförhållande, betecknat enligt följande:
TILL = B
Om alla element i en uppsättning A tillhör en uppsättning B, men inte alla element i B tillhör A, så finns det mellan dessa uppsättningar en inkluderingsrelation som betecknas så här:
A ⊂ B, men B ⊄ A
Ovanstående uttryck lyder: A är en delmängd av B, men B är inte en delmängd av A.
För att indikera att vissa eller vissa element tillhör en uppsättning används medlemssymbolen ∈, till exempel för att säga att x-element eller element tillhör uppsättningen A skrivs symboliskt så här:
x ∈ A
Om ett element inte tillhör uppsättningen A skrivs denna relation så här:
och ∉ A
Medlemskapsförhållandet uppträder mellan elementen i en uppsättning och uppsättningen, med det enda undantaget för kraftuppsättningen, varvid kraftuppsättningen är samlingen eller uppsättningen av alla möjliga uppsättningar som kan bildas med elementen i uppsättningen.
Anta att V = a, e, i, dess kraftuppsättning är P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i , a, e, i, i detta fall blir uppsättningen V ett element i uppsättningen P (V) och kan skrivas:
V ∈ P (V)
Den första egenskapen för inkludering fastställer att varje uppsättning ingår i sig själv, eller med andra ord, att det är en delmängd av sig själv:
A ⊂ A
Den andra egenskapen för inkludering är transitivitet: om A är en delmängd av B och B i sin tur är en delmängd av C, då är A en delmängd av C. I symbolisk form skrivs transitivitetsrelationen enligt följande:
(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C
Nedan följer Venn-diagrammet som motsvarar transitiviteten för inkludering:
Korsningen är en operation mellan två uppsättningar som ger upphov till en ny uppsättning som tillhör samma universella uppsättning som de två första. I den meningen är det en sluten operation.
Symboliskt formuleras korsningsoperationen så här:
A⋂B = x / x∈A ^ x∈B
Ett exempel är följande: uppsättning A för bokstäverna i ordet "element" och uppsättning B för bokstäverna för ordet "upprepad", skärningspunkten mellan A och B skrivs så här:
A⋂B = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s. Den universella uppsättningen U av A, av B och även av A⋂B är uppsättningen av bokstäverna i det spanska alfabetet.
Föreningen av två uppsättningar är uppsättningen som bildas av elementen som är gemensamma för de två uppsättningarna och de icke-gemensamma elementen för de två uppsättningarna. Fackföreningen mellan uppsättningar uttrycks symboliskt så här:
A∪B = x / x∈A v x∈B
Differensoperationen för uppsättning A minus uppsättning B betecknas med A-B. A-B är en ny uppsättning bildad av alla element som finns i A och som inte tillhör B. Symboliskt skrivs det så här:
A - B = x / x ∈ A ^ x ∉ B
Den symmetriska skillnaden är en operation mellan två uppsättningar där den resulterande uppsättningen består av elementen som inte är gemensamma för de två uppsättningarna. Den symmetriska skillnaden representeras symboliskt så här:
A⊕B = x / x∈ (A-B) ^ x∈ (B-A)
Venn-diagrammet är ett grafiskt sätt att representera uppsättningar. Till exempel representeras uppsättningen C för bokstäverna i orduppsättningen så här:
Det visas nedan med Venn-diagram att uppsättningen vokaler i ordet "set" är en delmängd av bokstäverna i ordet "set".
Uppsättning Ñ av bokstäverna i det spanska alfabetet är en ändlig uppsättning, denna uppsättning i förlängning är skriven så här:
Ñ = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z och dess kardinalitet är 27.
Uppsättning V av vokalerna på spanska är en delmängd av uppsättningen Ñ:
V ⊂ Ñ därför är det en ändlig uppsättning.
Den ändliga uppsättningen V i omfattande form är det skrivet så här: V = a, e, i, o, u och dess kardinalitet är 5.
Med tanke på uppsättningarna A = 2, 4, 6, 8 och B = 1, 2, 4, 7, 9 bestäm A-B och B-A.
A - B är elementen i A som inte finns i B:
A - B = 6, 8
B - A är elementen i B som inte finns i A:
B - A = 1, 7, 9
Skriv i symbolisk form och också i förlängning uppsättningen P med jämna naturliga tal mindre än 10.
Lösning: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0
P = 2, 4, 6, 8
Antag att uppsättningen A som bildas av de naturliga tal som är faktorerna 210 och uppsättningen B som bildas av de primära naturliga siffrorna mindre än 9. Bestäm genom förlängning båda uppsättningarna och fastställ vilken relation det finns mellan de två uppsättningarna.
Lösning: För att bestämma elementen i uppsättning A måste vi börja med att hitta faktorerna för det naturliga talet 210:
210 = 2 * 3 * 5 * 7
Sedan skrivs uppsättning A:
A = 2, 3, 5, 7
Vi betraktar nu uppsättningen B, som är primtal mindre än 9. 1 är inte primär eftersom den inte uppfyller definitionen av primtal: "ett tal är primt om och bara om det har exakt två delare, 1 och själva numret" . 2 är jämn och samtidigt är den primär eftersom den uppfyller definitionen av en primtal, de andra primtalarna mindre än 9 är 3, 5 och 7. Så uppsättningen B är:
B = 2, 3, 5, 7
Därför är de två uppsättningarna lika: A = B.
Bestäm uppsättningen vars element x skiljer sig från x.
Lösning: C = x / x ≠ x
Eftersom varje element, antal eller objekt är lika med sig själv kan uppsättningen C inte vara annat än den tomma uppsättningen:
C = Ø
Låt mängden N av naturliga tal och Z vara mängden heltal. Bestäm N ⋂ Z och N ∪ Z.
Lösning:
N ⋂ Z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]
N ∪ Z = Z eftersom N ⊂ Z.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.