Det förstås av regissörvektor en som definierar riktningen för en linje, antingen i planet eller i rymden. Därför kan en vektor parallell med linjen betraktas som en riktningsvektor av samma.
Detta är möjligt tack vare ett axiom av euklidisk geometri som säger att två punkter definierar en linje. Sedan definierar det orienterade segmentet som bildas av dessa två punkter också en regissörvektor för nämnda linje.
En poäng P tillhör linjen (L) och ges en regissörvektor eller av den linjen är linjen helt bestämd.
Artikelindex
En poäng P koordinater F: (Xo, I) och en vektor eller direktör för en rak (L), alla poäng F koordinater F: (X, Y) måste uppfylla att vektorn PQ vara parallell med u. Detta sista villkor är garanterat om PQ är proportionell mot eller:
PQ = t⋅eller
i föregående uttryck t är en parameter som tillhör de verkliga siffrorna.
Om de kartesiska komponenterna i PQ och av eller Ovanstående ekvation skrivs enligt följande:
(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)
Om komponenterna i vektorjämlikhet utjämnas har vi följande ekvationspar:
X - Xo = a⋅t Y Y - I = b⋅t
Koordinaterna X och Y av en punkt på linjen (L) passerar genom en koordinatpunkt (Xo, I) och det är parallellt med regissörvektor eller= (a, b) bestäms genom att tilldela verkliga värden till variabelparametern t:
X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t
För att illustrera innebörden av linjens parametriska ekvation, tar vi som riktningsvektorn
eller = (a, b) = (2, -1)
och som en känd punkt på linjen punkten
P = (Xo, I) = (1, 5).
Linjens parametriska ekvation är:
X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1 t; -∞
För att illustrera innebörden av denna ekvation visas figur 3, där parametern t ändras i värde och punkt F koordinater (X, Y) ta olika positioner på rakt.
Med tanke på en punkt P på raden och dess regissörvektor u kan linjens ekvation skrivas i vektorform:
O Q = OP + λ⋅eller
I ovanstående ekvation är Q vilken punkt som helst som tillhör linjen och λ ett verkligt antal.
Linjens vektorekvation är tillämplig på valfritt antal dimensioner, även en hyperlinje kan definieras.
I det tredimensionella fallet för en regissörvektor eller= (a, b, c) och en punkt P = (Xo, Yo, Zo), koordinaterna för en generisk punkt Q = (X, Y, Z) tillhör linjen är:
(X OCH Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)
Tänk igen linjen som har som en riktningsvektor
eller = (a, b) = (2, -1)
och som en känd punkt på linjen punkten
P = (Xo, I) = (1, 5).
Vektorekvationen för denna linje är:
(X, Y) = (1, 5) + A ^ (2, -1)
Med utgångspunkt från den parametriska formen, rensa och jämföra parametern λ har vi:
(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c
Detta är den symmetriska formen av linjens ekvation. Jag känner att till, b Y c är komponenterna i regissörvektorn.
Tänk på linjen som har som en riktningsvektor
eller = (a, b) = (2, -1)
och som en känd punkt på linjen punkten
P = (Xo, I) = (1, 5). Hitta dess symmetriska form.
Linjens symmetriska eller kontinuerliga form är:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
Ekvationen som har följande struktur är känd som den allmänna formen av linjen i XY-planet:
A⋅X + B⋅Y = C
Uttrycket för den symmetriska formen kan skrivas om så att den har den allmänna formen:
b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
jämfört med linjens allmänna form är det:
A = b, B = -a och C = b⋅Xo - a⋅Yo
Hitta den allmänna formen för raden vars regissörvektor är u = (2, -1)
och som passerar genom punkten P = (1, 5).
För att hitta den allmänna formen kan vi använda de givna formlerna, men en alternativ väg väljs.
Vi börjar med att hitta den dubbla vektorn w för regissörvektorn u, definierad som vektorn erhållen genom att utbyta komponenterna i u och multiplicera den andra med -1:
w= (-1, -2)
den dubbla vektorn w motsvarar en 90 ° medurs rotation av regissörvektorn v.
Vi multiplicerar skalärt w med (X, Y) och med (Xo, I) och vi matchar:
(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1 -2-5 = -11
återstår slutligen:
X + 2Y = 11
Det är känt som standardformen för linjen i XY-planet, en som har följande struktur:
Y = m⋅X + d
där m representerar lutningen och d avlyssningen med Y-axeln.
Med tanke på riktningsvektorn u = (a, b) är lutningen m b / a.
Yd erhålls genom att X och Y ersätter den kända punkten Xo, I:
I = (b / a) Xo + d.
Kort sagt, m = b / a och d = I - (b / a) Xo
Observera att lutningen m är kvoten mellan komponenten Y av regissörvektorn och komponenten x av samma.
Hitta standardformen för raden vars regissörvektor är u = (2, -1)
och som passerar genom punkten P = (1, 5).
m = -½ och d = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
Hitta en direktörvektor för linjen (L) som är skärningspunkten mellan planet (Π): X - Y + Z = 3 och planet (Ω): 2X + Y = 1.
Skriv sedan den kontinuerliga formen av linjens ekvation (L).
Från ekvationen för planet (Ω) är spelrummet Y: Y = 1-2X
Sedan ersätter vi i ekvationen av planet (Π):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
Sedan parametrar vi X, vi väljer parametreringen X = λ
Detta betyder att linjen har en vektorekvation som ges av:
(X, Y, Z) = (A, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
som kan skrivas om som:
(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + A (1, -2, -3)
med vilken det är tydligt att vektorn eller = (1, -2, -3) är en riktningsvektor för linjen (L).
Den kontinuerliga formen av linjen (L) är:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
Med tanke på 5X-planet + till Y + 4Z = 5
och linjen vars ekvation är X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)
Bestäm värdet på till så att planet och linjen är parallella.
Vektoren n = (5, a, 4) är en vektor som är normal i förhållande till planet.
Vektoren eller = (1, 3, -2) är en regissörvektor för linjen.
Om linjen är parallell med planet, då n • v = 0.
(5, till, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3till -8 = 0 ⇒ till= 1.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.