De icke-plana vektorer är de som inte delar samma plan. Två fria vektorer och en punkt definierar ett enda plan. En tredje vektor kan eller kanske inte delar det planet och om det inte gör det är de icke-planära vektorer.
Icke-planära vektorer kan inte representeras i tvådimensionella utrymmen som en svart tavla eller pappersark, eftersom vissa av dem finns i den tredje dimensionen. För att representera dem ordentligt måste du använda perspektiv.
Om vi tittar på figur 1 är alla föremål som visas strikt i skärmplanet, men tack vare perspektivet kan vår hjärna föreställa sig ett plan (P) som kommer ut ur det..
På det planet (P) finns vektorerna r, s, eller, medan vektorerna v Y w de är inte på det planet.
Därför vektorerna r, s, eller de är i samma plan eller i samma plan eftersom de delar samma plan (P). Vektorer v Y w de delar inte ett plan med någon av de andra visade vektorerna, därför är de icke-plana.
Artikelindex
Ett plan definieras unikt om tre punkter förekommer i ett tredimensionellt utrymme.
Antag att dessa tre punkter är poängen TILL, punkt B och poängen C som definierar planet (P). Med dessa punkter är det möjligt att konstruera två vektorer AB = u Y AC = v som är i linje med planet (P).
Vektorprodukten (eller tvärprodukten) av dessa två vektorer resulterar i en tredje vektor vinkelrät (eller normal) mot dem och därför vinkelrät mot planet (P):
n = u X v => n ⊥ eller Y n ⊥ v => n ⊥ (P)
Varje annan punkt som tillhör planet (P) måste uppfylla att vektorn AQ är vinkelrätt mot vektorn n; Detta motsvarar att säga att punktprodukten (eller punktprodukten) av n med AQ måste vara noll:
n • AQ = 0 (*)
Det tidigare villkoret motsvarar att säga att:
AQ • (eller X v) = 0
Denna ekvation säkerställer att punkten F tillhör planet (P).
Ovanstående ekvation kan skrivas i kartesisk form. För detta skriver vi koordinaterna för punkterna TILL, F och komponenterna i den normala vektorn n:
A = (a, b, c)
Q = (x, y, z)
n= (nx, ny, nz)
Så komponenterna i AQ är:
AQ= (x-a, y-b, z-c)
Villkoret för vektorn AQ finns i planet (P) är villkoret (*) som nu är skrivet så här:
(nx, ny, nz) • (x-a, y-b, z-c) = 0
Beräkning av punktprodukten återstår:
nx (x-a) + ny (y-b) + nz (z-b) = 0
Om den utvecklas och ordnas om förblir den:
nx x + ny y + nz z = nx a + ny b + nz c
Det tidigare uttrycket är den kartesiska ekvationen av ett plan (P), som en funktion av komponenterna i en vektor normal till (P) och koordinaterna för en punkt TILL som tillhör (P).
Som framgår av föregående avsnitt, villkoret AQ • (eller X v) = 0 garanterar att vektorn AQ är i samma plan som eller Y v.
Om vi ringer w till vektor AQ då kan vi bekräfta att:
w, eller Y v de är i samma plan, om och bara om w • ( eller X v ) = 0.
Om den trippelprodukten (eller den blandade produkten) av tre vektorer skiljer sig från noll är dessa tre vektorer icke-plana.
Ja w • ( eller X v ) ≠ 0 då är vektorerna u, v och w icke-plana.
Om de kartesiska komponenterna i vektorerna u, v och w introduceras, kan villkoren för icke-planaritet skrivas så här:
Den tredubbelprodukten har en geometrisk tolkning och representerar volymen av parallellpiped alstrad av de tre icke-plana vektorerna.
Anledningen är följande; När två av de icke-plana vektorerna multipliceras vektorellt erhålls en vektor vars storlek är arean av parallellogrammet de genererar.
När denna vektor sedan multipliceras skalärt med den tredje icke-samplanära vektorn, är vad vi har projiceringen till en vektor vinkelrätt mot planet bestämt av de två första multiplicerat med det område som de bestämmer..
Det vill säga, vi har arealet av parallellogrammet som genereras av de två första multiplicerat med höjden på den tredje vektorn.
Om du har tre vektorer och någon av dem inte kan skrivas som en linjär kombination av de andra två, är de tre vektorerna icke-plana. Det är tre vektorer eller, v Y w är icke-plana om villkoret:
a eller + β v + γ w = 0
Det uppfylls endast när α = 0, β = 0 och γ = 0.
Det finns tre vektorer
eller = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) och w = (-1, 2, z)
Lägg märke till att z-komponenten i vektorn w Det är okänt.
Hitta det värdeintervall som z kan ta på ett sådant sätt att det garanteras att de tre vektorerna inte delar samma plan.
w • ( eller X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
Vi sätter detta uttryck lika med värdet noll
21 z + 18 = 0
och vi löser för z
z = -18 / 21 = -6/7
Om variabeln z tog värdet -6/7 skulle de tre vektorerna vara i samma plan.
Så värdena på z som garanterar att vektorerna inte är i samma plan är de i följande intervall:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
Hitta volymen för parallelepiped som visas i följande bild:
För att hitta volymen för den parallellpipade som visas i figuren kommer de kartesiska komponenterna i tre samtidiga icke-planära vektorer att bestämmas vid ursprunget till koordinatsystemet. Den första är vektorn eller 4m och parallellt med X-axeln:
eller= (4, 0, 0) m
Den andra är vektorn v i XY-planet med storlek 3m och bildar 60º med X-axeln:
v= (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m
Och den tredje vektorn w på 5m och vars projektion i XY-planet bildar 60º med X-axeln, dessutom bildar w 30º med Z-axeln.
w= (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
När beräkningarna har genomförts har vi: w= (1,25, 2,17, 2,5) m.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.