Karaktäristiska enhetsvektorer, hur man får det, exempel

4260
Anthony Golden

De enhetsvektorer är de vars modul, storlek eller storlek är lika med det numeriska värdet en. Enhetsvektorer är användbara för att ange riktningen för andra icke-enhetsvektorer.

Kom ihåg att vektorer är matematiska enheter som matematiskt representerar fysiska storheter som är beroende av riktning, såsom kraft, hastighet, acceleration och andra..

De mest kända enhetsvektorerna är de tre vektorerna som går i riktning mot de kartesiska axlarna. Källa: F. Zapata.

Oavsett den fysiska storlek som de är associerade med, är enhetsvektorer saknade måttenheter och deras storlek är alltid 1, ett rent tal.

Till exempel betecknas hastigheten för en partikel som rör sig vid 3 m / s och går i den positiva riktningen för den kartesiska axeln X: v = (3 m / s) i, där fet typ används för att beteckna vektormängder. I detta exempel är modulen v är 3 m / s och modulen för enhetsvektorn i är 1 (inga enheter).

Artikelindex

  • 1 Modul, riktning och känsla
  • 2 Egenskaper för en enhetsvektor
  • 3 Enhetsvektorer i rymden
  • 4 Hur man ritar / beräknar enhetsvektorn?
    • 4.1 En godtycklig vektor i termer av enhetsvektorn
    • 4.2 Grafisk representation
  • 5 Exempel på enhetsvektorer
    • 5.1 De vinkelräta enhetsvektorerna i, j och k
    • 5.2 Coulombs lag
  • 6 Övningen löst
    • 6.1 Lösning
  • 7 Referenser

Modul, riktning och känsla

Med tanke på hur viktigt det är att fastställa orienteringen av dessa kvantiteter för att känna till deras effekter, har vektorer tre relevanta egenskaper: storleken eller modulen, associerad med storleken på vektorn, riktningen och avkänningen. När man representerar en vektormängd är det nödvändigt att tydligt ange dessa aspekter.

Nu kan en enhetsvektor ha vilken riktning och vilken känsla som helst, men storleken måste alltid vara lika med 1.

Enhetsvektorer används för att peka på en viss riktning i rymden eller i planet. Om vi ​​till exempel behöver arbeta med alla krafter som verkar längs den horisontella axeln, eftersom en enhetsvektor i den riktningen hjälper oss att skilja dessa krafter från andra riktade i en annan riktning..

Och för att skilja dem från icke-enhetsvektorer används fetstil vanligtvis i tryckt brev och en vagn placeras ovanpå, till exempel:

Egenskaper för en enhetsvektor

Matematiskt enhetsvektorn:

Så vi kan fastställa att:

-Enhetsvektorns modul är alltid 1, det spelar ingen roll om det är en kraft, hastighet eller annan vektor.

-Enhetsvektorer har en viss riktning, såväl som avkänning, såsom enhetsvektorn i vertikal riktning, som kan ha riktning uppåt eller nedåt.

-Enhetsvektorer har en utgångspunkt. När den representeras av ett kartesiskt koordinatsystem sammanfaller denna punkt med systemets ursprung: (0,0) om det är planet eller (0,0,0) om vektorn finns i ett tredimensionellt utrymme.

Enhetsvektorens egenskaper. Källa: Wikimedia Commons.

-På samma sätt kan med enhetsvektorerna alla operationer av vektortillägg, subtraktion och multiplikation som utförs med hjälp av vanliga vektorer utföras. Därför är det giltigt att multiplicera enhetsvektorn med en skalär, såväl som att utföra punktprodukten och korsprodukten.

-Med en enhetsvektor i en viss riktning kan andra vektorer uttryckas som också är orienterade i den riktningen..

Enhetsvektorer i rymden

För att uttrycka vilken vektor som helst i rymden eller i planet kan en uppsättning enhetsvektorer vinkelrätt mot varandra användas, som bildar en ortonormal grund. Var och en av de tre förmånsriktningarna i rymden har sin egen enhetsvektor.

Låt oss gå tillbaka till exemplet på krafter riktade längs den horisontella axeln. Detta är x-axeln, som har två möjligheter: till höger och till vänster. Antag att vi har en enhetsvektor på x-axeln och riktad till höger, vilket vi kan beteckna på något av dessa sätt:

Var och en av dem är giltig. Antag nu en kraft F1 med styrkan 5 N längs denna axel och riktad till höger, skulle en sådan kraft kunna uttryckas som:


Om kraften riktades längs x-axeln men i motsatt riktning, det vill säga till vänster, skulle ett negativt tecken kunna användas för att fastställa denna skillnad..

Till exempel skulle en kraft på 8 N, placerad på x-axeln och riktad åt vänster, se ut så här:

Eller så här:

Och för vektorerna som inte är riktade längs de kartesiska axlarna, finns det också ett sätt att representera dem i termer av de ortogonala enhetsvektorerna genom deras kartesiska komponenter.

Hur man hämtar / beräknar enhetsvektorn?

För att beräkna enhetsvektorn i riktning mot valfri godtycklig vektor v, följande formel gäller:

Var:

Det är modulen eller storleken på vektorn v, vars kvadrat beräknas så här:

|v|två = (vx)två +  (vY)två+  (vz)två

En godtycklig vektor när det gäller enhetsvektorn

Alternativt vektorn v kan uttryckas så här:

Det vill säga produkten av dess modul med motsvarande enhetsvektor. Detta är precis vad som gjordes tidigare när man talade om styrkan 5 N riktad längs den positiva x-axeln.

Grafisk representation

Grafiskt ses ovan nämnda i denna bild, där vektorn v är i blått och motsvarande enhetsvektor i dess riktning är i rött.

I detta exempel är vektorn v den har en storlek större än enhetsvektorn, men förklaringen gäller även om den inte gör det. Med andra ord kan vi ha vektorer som till exempel är 0,25 gånger enhetsvektorn.

Exempel på enhetsvektorer

De vinkelräta enhetsvektorerna i, j och k

Som vi har sett tidigare, de vinkelräta enhetsvektorerna i, j Y k de är mycket användbara för att representera vilken annan vektor som helst i planet eller rymden och för att utföra vektoroperationer. I termer av dessa vektorer representeras en godtycklig vektor v som:

v = vx i + vY j + vz k

Där Vx, vY och Vz är de rektangulära komponenterna i vektorn v, som är skalar - ingen fet typ används för att representera dem i tryckt text-.

Coulombs lag

Enhetsvektorer förekommer ofta i fysik. Där har vi till exempel Coulombs lag, som kvantitativt beskriver växelverkan mellan tvåpunkts elektriska laddningar.

Den säger att styrkan F attraktion eller avstötning mellan nämnda laddningar är proportionell mot deras produkt, omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet som skiljer dem och är riktad i riktningen mot enhetsvektorn som sammanfogar laddningarna.

Denna vektor representeras vanligtvis av:

Och Coulombs lag ser ut så här i vektorform:

Övningen löst

Hitta enhetsvektorn i vektorn v = 5i + 4j -8k, ges i godtyckliga enheter.

Lösning

Definitionen av enhetsvektorn ovan gäller:

Men först måste vi beräkna vektormodulen, som eftersom den har tre komponenter bestäms av:

|v|två = (vx)två +  (vY)två +  (vz)två

Återstående:

|v|två = (5)två +  (4)två +  (-8)två= 25 + 16 + 64 = 105

Därför modulen v det är:

|v| = √105

Enhetsvektorn som du söker efter är helt enkelt:

Som slutligen leder oss till:

v = 0,488 i + 0,390 j - 0,781 k

Referenser

  1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill.
  2. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
  3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Kinematik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
  4. Giambattista, A. 2010. Fysik. 2: a. Ed McGraw Hill.
  5. Resnick, R. (1999). Fysisk. Vol. 1. 3: e upplagan på spanska. Compañía Editorial Continental S.A. av C.V.

Ingen har kommenterat den här artikeln än.