De vinkelhastighet är ett mått på rotationshastigheten och definieras som den vinkel som positionsvektorn för det roterande objektet roterar, per tidsenhet. Det är en storlek som mycket väl beskriver rörelsen för en mängd objekt som ständigt roterar överallt: CD-skivor, bilhjul, maskiner, jorden och många fler..
Ett diagram över "London eye" kan ses i följande bild. Det representerar rörelsen för en passagerare som representeras av punkt P, som följer den cirkulära vägen som kallas c:
Passageraren intar position P vid ögonblicket t och vinkelpositionen motsvarande det ögonblicket är ϕ.
Från ögonblicket t förgår en tidsperiod Δt. Under denna period är den punktliga passagerarens nya position P 'och vinkelpositionen har ökat med en vinkel A.
Artikelindex
För rotationsmängder används grekiska bokstäver i stor utsträckning för att skilja dem från linjära kvantiteter. Så initialt definierar vi medelvinkelhastigheten ωm som vinkeln reste under en viss tidsperiod.
Då representerar kvoten Δϕ / Δt den genomsnittliga vinkelhastigheten ωm mellan tiderna t och t + Δt.
Om du vill beräkna vinkelhastighet precis vid ögonblicket t, då måste vi beräkna kvoten Δϕ / Δt när Δt ➡0:
Linjär hastighet v, är kvoten mellan avståndet och den tid det tar att resa.
I figuren ovan är den färdiga bågen Δs. Men den bågen är proportionell mot den färdade vinkeln och radien, varvid följande förhållande uppfylls, vilket är giltigt så länge Δϕ mäts i radianer:
Δs = r ・ Δϕ
Om vi delar föregående uttryck med tidsförloppet Δt och tar gränsen när Δt ➡0, får vi:
v = r ・ ω
En rotationsrörelse är likformig om vinkeln som färdas vid varje observerat ögonblick är densamma under samma tidsperiod.
Om rotationen är enhetlig sammanfaller vinkelhastigheten när som helst med medelvinkelhastigheten.
Vidare, när en hel sväng görs, är den färdade vinkeln 2π (motsvarande 360º). Därför, i en enhetlig rotation, är vinkelhastigheten ω relaterad till perioden T, med följande formel:
f = 1 / T.
Med andra ord, i en enhetlig rotation är vinkelhastigheten relaterad till frekvensen genom:
ω = 2π ・ f
Hytterna på det stora snurrhjulet, känt som "London Eye”De rör sig långsamt. Hytternas hastighet är 26 cm / s och hjulet är 135 m i diameter.
Beräkna med dessa data:
i) Hjulets vinkelhastighet
ii) Rotationsfrekvensen
iii) Tiden det tar för en stuga att göra en hel sväng.
Svar:
i) Hastigheten v i m / s är: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Radien är halva diametern: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 varv / s
f = 6,13 x 10 ^ -4 varv / s = 0,0368 varv / min = 2,21 varv / timme.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 varv / timme = 0,45311 timme = 27 min 11 sek
En leksaksbil rör sig på ett cirkulärt spår med en radie på 2 m. Vid 0 s är dess vinkelposition 0 rad, men efter en tid t ges dess vinkelposition genom:
φ (t) = 2 ・ t
Bestämma:
i) Vinkelhastigheten
ii) Linjär hastighet när som helst.
Svar:
i) Vinkelhastigheten är derivatet av vinkelpositionen: ω = φ '(t) = 2.
Det vill säga att leksaksbilen alltid har konstant vinkelhastighet lika med 2 rad / s.
ii) Bilens linjära hastighet är: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h
Samma bil från föregående övning börjar stanna. Dess vinkelposition som en funktion av tiden ges av följande uttryck:
φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ ttvå
Bestämma:
i) Vinkelhastigheten när som helst
ii) Linjär hastighet när som helst
iii) Tiden det tar att stoppa från det ögonblick det börjar bromsa upp
iv) Vinkeln som färdats
v) rest sträcka
Svar:
i) Vinkelhastigheten är derivatet av vinkelpositionen: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ ttvå) '= 2 - t
ii) Bilens linjära hastighet när som helst ges av:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Tiden det tar att stanna från det ögonblick då den börjar bromsas bestäms av att känna till det ögonblick då hastigheten v (t) blir noll.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
Det vill säga det stannar 2 s efter att ha börjat bromsa.
iv) Under perioden 2s från det att den börjar bromsa tills den stannar, förflyttas en vinkel som ges av φ (2):
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grader
v) Under 2 s från det börjar bromsa tills det stannar, ett avstånd s som ges av:
s = r ・ φ = 2 m ・ 2 rad = 4 m
Hjulen på en bil är 80 cm i diameter. Om bilen kör 100 km / h. Hitta: i) hjulens rotationshastighet, ii) hjulens rotationsfrekvens, iii) antalet varv hjulet gör under en timmes resa.
Svar:
i) Först ska vi konvertera bilens hastighet från Km / h till m / s
v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
Hjulens rotationshastighet ges av:
ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) Hjulens rotationsfrekvens ges av:
f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 varv / s
Rotationsfrekvensen uttrycks vanligtvis i varv per minut varv / min.
f = 11,05 varv / s = 11,05 varv / (1/60) min = 663,15 varv / min
iii) Antalet varv hjulet gör under en timmes resa beräknas med vetskap om att 1 timme = 60 min och att frekvensen är antalet varv N dividerat med den tid då dessa N varv görs.
f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (varv / min) x 60 min = 39788,7 varv.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.