De momentan hastighet den definieras som den momentana förändringen av förskjutningen i tid. Det är ett koncept som lägger till stor precision i studiet av rörelse. Och det är ett framsteg med avseende på medelhastigheten, vars information är mycket allmän.
För att få den omedelbara hastigheten, låt oss titta på ett så litet tidsintervall som möjligt. Differentialräkning är det perfekta verktyget för att uttrycka denna idé matematiskt.
Utgångspunkten är medelhastigheten:
Denna gräns är känd som ett derivat. I differentiell kalkylnotation har vi:
))
När rörelsen är begränsad till en rak linje kan vektornotationen undvikas.
Artikelindex
Följande bild visar den geometriska tolkningen av derivatkonceptet: det är linjens lutning tangent till kurvan x (t) vs. t vid varje punkt.
Du kan föreställa dig hur man uppnår gränsen om punkt Q närmast punkt till punkt P. Det kommer att komma en tid då båda punkterna är så nära att du inte kommer att kunna skilja på varandra..
Linjen som går med dem går sedan från att vara sekant (linje som korsar sig vid två punkter) till att vara tangent (linje som berör kurvan vid endast en punkt). För att hitta den momentana hastigheten hos en rörlig partikel bör vi därför ha:
Nåväl:
-Lutningslinjen för tangentlinjen till kurvan vid P är 0. En nolllutning betyder att mobilen är stationär och att dess hastighet naturligtvis är 0.
-Lutningen på linjen som berör kurvan vid P är större än 0. Hastigheten är positiv. I diagrammet ovan betyder det att mobilen rör sig bort från O.
-Tangentlinjens lutning mot kurvan vid P är mindre än 0. Hastigheten skulle vara negativ. I diagrammet ovan finns inga sådana punkter, men i detta fall skulle partikeln närma sig O.
-Lutningen på linjen som berör kurvan är konstant vid P och alla andra punkter. I det här fallet är diagrammet en rak linje och mobilen har enhetlig linje rörelse MRU (dess hastighet är konstant).
I allmänhet funktionen v (t) det är också en funktion av tiden, som i sin tur kan ha ett derivat. Vad händer om det inte var möjligt att hitta derivat av funktionerna x (t) Y v (t)?
I fallet med x (t) det kan vara så att lutningen - den ögonblickliga hastigheten - byter tecken plötsligt. Eller att det skulle gå från noll till ett annat värde omedelbart.
Om så är fallet, diagrammet x (t) det skulle presentera punkter eller hörn på platserna för plötsliga förändringar. Mycket annorlunda än fallet i den föregående bilden, där kurvan x (t) är en jämn kurva, utan punkter, hörn, diskontinuiteter eller plötsliga förändringar.
Sanningen är att för riktiga mobiler är de släta kurvorna de som bäst representerar objektets beteende.
Rörelsen i allmänhet är ganska komplex. Mobilerna kan stoppas ett tag, accelerera för att gå från vila för att ha en hastighet och flytta sig bort från startpunkten, behålla hastigheten ett tag, sedan bromsa för att stoppa igen och så vidare..
Återigen kan de börja om och fortsätta i samma riktning. Eller aktivera omvänd och återvänd. Detta kallas varierad rörelse i en dimension..
Här är några exempel på beräkning av den momentana hastigheten som klargör användningen av de angivna definitionerna:
En partikel rör sig längs en rak linje med följande rörelselag:
x (t) = -t3 + 2 ttvå + 6 t - 10
Alla enheter finns i det internationella systemet. Hitta:
a) Partikelns position vid t = 3 sekunder.
b) Medelhastigheten i intervallet mellan t = 0 s och t = 3 s.
c) Medelhastigheten i intervallet mellan t = 0 s och t = 3 s.
d) Partikelns momentana hastighet från föregående fråga, vid t = 1 s.
a) För att hitta partikelns position utvärderas rörelselagen (positionsfunktion) vid t = 3:
x (3) = (-4/3) .33 + 2. 3två + 6,3 - 10 m = -10 m
Det är inget problem att positionen är negativ. Tecknet (-) indikerar att partikeln är till vänster om ursprunget O.
b) Vid beräkningen av medelhastigheten krävs partikelns slutliga och initiala position vid de angivna tidpunkterna: x (3) och x (0). Positionen vid t = 3 är x (3) och är känd från föregående resultat. Positionen vid t = 0 sekunder är x (0) = -10 m.
Eftersom slutpositionen är densamma som utgångsläget drar man omedelbart slutsatsen att medelhastigheten är 0.
c) Medelhastigheten är förhållandet mellan det sträcka som har rest och den tid det tar. Nu är avståndet modulen eller storleken på förskjutningen, därför:
avstånd = | x2 - x1 | = | -10 - (-10) | m = 20 m
Observera att sträckan alltid är positiv.
vm = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Här är det nödvändigt att hitta det första derivatet av positionen med avseende på tid. Därefter utvärderas den för t = 1 sekund.
x '(t) = -4 ttvå + 4 t + 6
x '(1) = -4,1två + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s
Nedan visas grafen för en mobilposition som en funktion av tiden. Hitta den momentana hastigheten vid t = 2 sekunder.
Rita tangentlinjen till kurvan vid t = 2 sekunder, beräkna sedan lutningen och ta två punkter på linjen.
I det här exemplet tar vi två punkter som lätt kan visualiseras, vars koordinater är (2 s, 10 m) och skärningen med den vertikala axeln (0 s, 7 m):
Ingen har kommenterat den här artikeln än.