A antiderivativ F (x) av en funktion F(x) kallas också primitiv eller helt enkelt den obegränsade integralen av nämnda funktion, om i ett givet intervall Jag, Är det sant att F '(x) = f (x)
Låt oss till exempel ta följande funktion:
f (x) = 4x3
Ett antiderivativ för denna funktion är F (x) = x4, sedan när man härleder F (x) med hjälp av härledningsregeln för makterna:
Vi får exakt f (x) = 4x3.
Detta är dock bara ett av många antiderivativ av f (x), eftersom denna andra funktion: G (x) = x4 + 2 är också, för när man differentierar G (x) med avseende på x, erhålls detsamma tillbaka f (x).
Låt oss kolla upp det:
Kom ihåg att derivatet av en konstant är 0. Därför är termen x4 du kan lägga till valfri konstant och dess derivat kommer att förbli 4x3.
Man drar slutsatsen att vilken funktion som helst av den allmänna formen F (x) = x4 + C, där C är en riktig konstant, fungerar som antiderivativ för f (x).
Det illustrativa exemplet ovan kan uttryckas så här:
dF (x) = 4x3 dx
Den antiderivativa eller obestämda integralen uttrycks med symbolen ∫, därför:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Där funktionen f (x) = 4x3 det kallas integrering, och C är konstant integration.
Artikelindex
Att hitta ett antiderivativ för en funktion är enkelt i vissa fall där derivaten är välkända. Låt till exempel funktionen f (x) = sin x, en antiderivativ för den är en annan funktion F (x), så att när vi differentierar den får vi f (x).
Den funktionen kan vara:
F (x) = - cos x
Låt oss kontrollera att det är sant:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Därför kan vi skriva:
∫sen x dx = -cos x + C
Förutom att känna till derivaten finns det några grundläggande och enkla integrationsregler för att hitta antiderivativ eller obestämd integral.
Låt k vara en riktig konstant, då:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
två.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Om en funktion h (x) kan uttryckas som addition eller subtraktion av två funktioner, är dess obestämda integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Detta är linjäritetens egenskap.
De makten för integraler kan det ställas in på detta sätt:
För n = -1 används följande regel:
5.- ∫x -1 dx = ln x + C.
Det är lätt att visa att derivatet av ln x det är exakt x -1.
En differentialekvation är en där det okända hittas som ett derivat.
Från den tidigare analysen är det nu lätt att inse att den inversa operationen till derivatet är den antiderivativa eller obestämda integralen.
Låt f (x) = y '(x), det vill säga derivatet av en viss funktion. Vi kan använda följande notation för att indikera detta derivat:
Det följer omedelbart att:
dy = f (x) dx
Det okända av differentialekvationen är funktionen y (x), den vars derivat är f (x). För att lösa det är det tidigare uttrycket integrerat på båda sidor, vilket motsvarar tillämpningen av antiderivativet:
∫dy = ∫f (x) dx
Den vänstra integralen löses av integreringsregeln 1, med k = 1, vilket löser önskat okänt:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C.
Och eftersom C är en riktig konstant, för att veta vilken som är lämplig i varje fall, måste påståendet innehålla tillräcklig ytterligare information för att beräkna värdet av C. Detta kallas initialtillstånd.
Vi kommer att se exempel på tillämpning av allt detta i nästa avsnitt.
Tillämpa integrationsreglerna för att erhålla följande antiderivativ eller obestämda integraler av de givna funktionerna, förenkla resultaten så mycket som möjligt. Det är bekvämt att verifiera resultatet genom härledning.
Vi tillämpar regel 3 först, eftersom integrand är summan av två termer:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
För den första integralen gäller maktregeln:
∫ xdx = (xtvå / 2) + C1
Regel 1 gäller den andra integralen, där k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C.två
Och nu läggs resultaten till. De två konstanterna är grupperade i en, generiskt kallad C:
∫ (x + 7) dx = (xtvå / 2) + 7x + C
Genom linjäritet sönderdelas denna integral i tre enklare integraler, på vilka kraftregeln kommer att tillämpas:
∫ (x3/2 + xtvå + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xtvå dx + ∫6 dx =
Observera att en konstant integration visas för varje integral, men de möts i ett enda samtal C.
I det här fallet är det bekvämt att använda multiplikationens fördelningsegenskap för att utveckla integranden. Därefter används kraftregeln för att hitta varje integral separat, som i föregående övning.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xtvå-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xtvå + x - 2) dx
Den noggranna läsaren kommer att observera att de två centrala termerna liknar varför de reduceras innan de integreras:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xtvå dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xtvå - 2x + C.
Ett sätt att lösa integralen skulle vara att utveckla kraften, som gjordes i exempel d. Eftersom exponenten är högre skulle det dock vara tillrådligt att ändra variabeln för att inte behöva göra en så lång utveckling.
Ändringen av variabeln är som följer:
u = x + 7
Avleda detta uttryck till båda sidor:
du = dx
Integralen omvandlas till en enklare med den nya variabeln, som löses med kraftregeln:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Slutligen returneras ändringen för att återgå till den ursprungliga variabeln:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
En partikel är initialt i vila och rör sig längs x-axeln. Dess acceleration för t> 0 ges av funktionen a (t) = cos t. Det är känt att vid t = 0 är positionen x = 3, allt i internationella systemenheter. Det ombeds att hitta hastigheten v (t) och partikelns position x (t).
Eftersom acceleration är det första härledda av hastighet med avseende på tid har vi följande differentialekvation:
a (t) = v '(t) = cos t
Det följer att:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C.1
Å andra sidan vet vi att hastigheten i sin tur är positionens derivat, därför integrerar vi igen:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C.1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C.1 t + Ctvå
Integrationskonstanterna bestäms utifrån informationen i uttalandet. Först står det att partikeln ursprungligen var i vila, därför v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C1 = 0
C1 = 0
Då har vi det x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C.1 0 + Ctvå = - 1 + Ctvå = 3 → Ctvå = 3 + 1 = 4
Hastighets- och positionsfunktionerna är definitivt så här:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Ingen har kommenterat den här artikeln än.