Ortnormala basegenskaper, exempel och övningar

A ortonormal bas Den är utformad med vektorer vinkelräta mot varandra och vars modul också är 1 (enhetsvektorer). Låt oss komma ihåg att en bas B i ett vektorutrymme V, definieras som en uppsättning linjärt oberoende vektorer som kan generera nämnda utrymme.

I sin tur är ett vektorutrymme en abstrakt matematisk enhet bland vars element är vektorer, vanligtvis associerade med fysiska storheter såsom hastighet, kraft och förskjutning eller också med matriser, polynom och funktioner..

Vektorer har tre distinkta element: storlek eller modul, riktning och känsla. En ortonormal bas är särskilt användbar för att representera och fungera med dem, eftersom alla vektorer som tillhör ett visst vektorutrymme V, kan skrivas som en linjär kombination av vektorerna som utgör den ortonormala grunden.

På detta sätt utförs operationer mellan vektorer analytiskt, såsom addition, subtraktion och de olika typerna av produkter som definieras i nämnda utrymme..

Bland de mest använda baserna i fysik är basen som bildas av enhetsvektorer i, j Y k De representerar de tre distinkta riktningarna för det tredimensionella utrymmet: höjd, bredd och djup. Dessa vektorer är också kända som kanoniska enhetsvektorer.

Om vektorerna istället bearbetas i ett plan, skulle två av dessa tre komponenter räcka, medan för endimensionella vektorer krävs endast en.

Artikelindex

• 1 Basens egenskaper
• 2 Exempel på baser
  • 2.1 Den kanoniska grunden i ℜ n
  • 2.2 Den kanoniska grunden på ℜ3
  • 2.3 Andra ortonormala baser i ℜ3
• 3 Lösta övningar
  • 3.1 - Övning 1
  • 3.2 - Övning 2
• 4 Referenser

Basernas egenskaper

1- En bas B är den minsta möjliga uppsättningen vektorer som genererar vektorutrymmet V.

2- Elementen i B de är linjärt oberoende.

3- Vilken bas som helst B av ett vektorutrymme V, tillåter att uttrycka alla vektorer av V som en linjär kombination av den och denna form är unik för varje vektor. Därför till B det är också känt som generatorsystem.

4- Samma vektorutrymme V kan ha olika baser.

Exempel på baser

Här är flera exempel på ortonormala baser och baser i allmänhet:

Den kanoniska grunden i ℜ ⁿ

Kallas också naturlig bas eller standardbas av ℜ ⁿ, där ℜ ⁿ är utrymmet n-dimensionell, till exempel är det tredimensionella utrymmet ℜ ³. Till värdet av n Det kallas dimensionera av vektorutrymmet och betecknas som dim (V).

Alla vektorer som tillhör ℜ ⁿ representeras av n-adas beordrade. För utrymme ℜⁿ, den kanoniska grunden är:

och₁ = <1,0,… ,0>; och_två = <0,1,… ,0>; ... och_n = <0,0,… ,1>

I det här exemplet har vi använt beteckningen med parenteser eller “parenteser” och fetstil för enhetsvektorerna och₁, och_två, och₃...

Den kanoniska grunden i ℜ³

De välkända vektorerna i, j Y k erkänna samma representation och alla tre av dem räcker för att representera vektorerna i ℜ ³:

i = <1,0,0 >; j = <0,1,0 >;  k = <0,0,1 >

Det betyder att basen kan uttryckas så här:

B = <1,0,0 >; <0,1,0 >;  <0,0,1 >

För att verifiera att de är linjärt oberoende är den determinant som bildas med dem icke-noll och också lika med 1:

Det bör också vara möjligt att skriva vilken vektor som helst som tillhör ℜ ³ som en linjär kombination av dem. Till exempel en kraft vars rektangulära komponenter är F_x = 4 N, F_Y = -7 N och F_z= 0 N skulle skrivas i vektorform så här:

F = <4,-7,0 > N = 4i -7j + 0k N.

Därför i, j Y k utgör ett generatorsystem av ℜ ³.

Andra ortonormala baser i ℜ³

Standardbasen som beskrivs i föregående avsnitt är inte den enda ortonormala basen i ℜ³. Här har vi till exempel baserna:

B₁ = ; <- sen θ, cos θ,0 >;  <0,0,1 >

B_två = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 >

Det kan visas att dessa baser är ortonormala, för detta kommer vi ihåg de villkor som måste uppfyllas:

-Vektorerna som bildar basen måste vara ortogonala mot varandra.

-Var och en av dem måste vara enhetliga.

Vi kan verifiera det med vetskap om att determinanten som bildas av dem måste vara icke-noll och vara lika med 1.

Bas B₁ det är just det för cylindriska koordinater ρ, φ och z, ett annat sätt att uttrycka vektorer i rymden.

Lösta övningar

- Övning 1

Visa att basen B = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 > är ortonormal.

Lösning

För att visa att vektorerna är vinkelräta mot varandra kommer vi att använda den skalära produkten, även kallad den inre eller punktprodukten av två vektorer.

Låt vara två vektorer eller Y v, dess produkt definieras av:

eller • v = u.v. cosθ

För att skilja vektorerna i deras moduler kommer vi att använda fetstil för de första och normala bokstäverna för de andra. θ är vinkeln mellan eller Y v, om de är vinkelräta betyder det därför att θ = 90º och den skalära produkten är noll.

Alternativt, om vektorerna ges i termer av deras komponenter: eller = x, eller_Y,eller_z > och v = x, v_Y,v_z >, punktprodukten för båda, som är kommutativ, beräknas enligt följande:

eller • v = eller_x .v_x + eller_Y .v_Y + eller_z .v_z

På detta sätt är de skalära produkterna mellan varje vektorpar:

i) <3/5, 4/5,0 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3/5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

iii) <- 4/5, 3/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

För det andra tillståndet beräknas varje vektors modul som erhålls genom:

│u │ = √ (u_x^två + eller_Y^två + eller_z^två)

Således är modulerna för varje vektor:

│<3/5, 4/5,0 >│ = √ [(3/5)^två + (4/5)^två  + 0^två)] = √ [(9/25) + (16/25)] = √ (25/25) = 1

│<-4/5, 3/5,0 >│ = √ [(-4/5)^två + (3/5)^två  + 0^två)] = √ [(16/25) + (9/25)] = √ (25/25) = 1

│<0, 0,1 >│ = √ [0^två + 0^två  + 1^två)] = 1

Därför är alla tre enhetsvektorer. Slutligen är determinanten de bildar icke-noll och lika med 1:

- Övning 2

Skriv vektornas koordinater w = <2, 3,1 > i termer av den gamla basen.

Lösning

För att göra detta används följande sats:

Låt B = v₁, v_två, v₃,... v_n en ortonormal grund i utrymme V med inre produkt, vektorn w representeras av B enligt följande:

w = <w•v₁> v₁ + <w•v_två> v_två +<w•v₃> v₃ +... <w•v_n> v_n

Detta betyder att vi kan skriva vektorn i bas B med hjälp av koefficienterna <w•v₁>, <w•v_två>, ...  <w•v_n> för vilka de angivna skalära produkterna måste beräknas:

<2, 3,1 > • <3/5, 4/5,0 > = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12/5) = 18/5

<2, 3,1 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1 > • <0,0,1> = 1

Med erhållna skalära produkter byggs en matris som kallas koordinatmatris av w.

Därför koordinaterna för vektorn w i bas B uttrycks de av:

[w]_B= [(5/18); (1/5); 1]

Koordinatmatrisen är inte vektorn, eftersom en vektor Det är det inte samma som dess koordinater. Dessa är bara en uppsättning siffror som tjänar till att uttrycka vektorn i en given bas, inte vektorn som sådan. De beror också på vald bas.

Slutligen, efter satsen, vektorn w skulle uttryckas så här:

w = (18/5) v₁ + (1/5) v_två + v₃

Med: v₁ = <3/5, 4/5,0 >; v_två = <- 4/5, 3/5,0 >; v₃ =  <0,0,1 >, det vill säga vektorerna i basen B.

Referenser

1. Larson, R. Grunderna för linjär algebra. 6: e. Utgåva. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7: e. Utgåva. Volym 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linjär algebra. Enhet 10. Ortonnormala baser. Återställd från: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla universitet. Cylindriska koordinater. Vector bas. Återställd från: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonnormal bas. Återställd från: es.wikipedia.org.