De rektangulära koordinater eller kartesiska är de som erhålls genom att ortogoniskt projicera på de tre kartesiska axlarna X, Y, Z en punkt belägen i ett tredimensionellt utrymme.
Kartesiska axlar är inbördes orienterade linjer vinkelräta mot varandra. I det kartesiska koordinatsystemet tilldelas varje punkt i rymden tre reella tal som är dess rektangulära koordinater.
Ett plan är ett delområde av tredimensionellt utrymme. Om man överväger punkter i ett plan är det tillräckligt att välja ett par vinkelräta axlar X, Y som det kartesiska systemet. Sedan tilldelas varje punkt i planet två reella tal som är dess rektangulära koordinater.
Artikelindex
Rektangulära koordinater föreslogs ursprungligen av den franska matematikern René Descartes (1596 och 1650), varför de kallas kartesiska.
Med denna idé av Descartes tilldelas punkterna på planet och utrymmet siffror, så att de geometriska figurerna har en algebraisk ekvation associerad och de klassiska geometriska satser kan bevisas algebraiskt. Med kartesiska koordinater föds analytisk geometri.
Om i ett plan väljs två vinkelräta linjer som skär varandra vid en punkt O; och om dessutom varje linje tilldelas en riktning och en numerisk skala mellan på varandra följande ekvidistanta punkter, så finns det ett kartesiskt system eller plan där varje punkt i planet är associerat med ett ordnat par med två reella tal som är deras utsprång respektive på X- och Y-axlarna.
Punkterna A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) och D = (3, -3) representeras i det kartesiska planet enligt nedan:
Observera att de två axlarna X och Y delar upp planet i fyra sektorer som kallas kvadranter. Punkt A är i den första kvadranten, B är i den andra kvadranten, C är i den tredje kvadranten, och punkt D är i den fjärde kvadranten..
Avståndet mellan två punkter A och B på det kartesiska planet är längden på det segment som förenar dem. Detta avstånd kan beräknas analytiskt enligt följande:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
Ovanstående formel erhålls genom att tillämpa Pythagoras sats.
Tillämpa denna formel på punkterna A, B i figur 2 har vi:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Det vill säga d (A, B) = 5,10 enheter. Observera att avståndet erhölls utan att behöva mätas med en linjal, en helt algebraisk procedur har följts.
Rektangulära koordinater tillåter analytisk representation av grundläggande geometriska objekt som punkten och linjen. Två punkter A och B definierar en enda rad. Linjens lutning definieras som kvoten mellan skillnaden mellan Y-koordinaterna för punkt B minus A, dividerad med skillnaden mellan X-koordinaterna för punkt B minus A:
lutning = (By - Ay) / (Bx - Ax)
Varje punkt P för koordinaterna (x, y) som tillhör linjen (AB) måste ha samma lutning:
lutning = (y - Ay) / (x - Ax)
Ekvationen som erhålls med hjälp av lutningarna är den analytiska eller algebraiska representationen av linjen som passerar genom punkterna A och B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Om vi tar för A och B de rektangulära koordinaterna i figur 2 har vi:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
I detta specifika fall har vi en linje med en negativ lutning -⅕, vilket innebär att genom att lokalisera på en punkt på linjen och öka x-koordinaten med en enhet, minskar y-koordinaten med 0,2 enheter.
Det vanligaste sättet att skriva ekvationen för linjen i planet är med y-koordinaten rensad som en funktion av variabeln x:
y = - (1/5) x + 13/5
Erhåll med analytiska metoder avståndet mellan punkterna C och A, som är de rektangulära koordinaterna för C = (-2, -3) och de för A = (3,2).
Formeln för det euklidiska avståndet mellan dessa två punkter skrivs så här:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Genom att ersätta motsvarande rektangulära koordinater har vi:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Skaffa ekvationen för linjen som passerar genom punkten C för koordinaterna (-2, -3) och punkten P för koordinaterna (2, 0).
Först erhålls lutningen för linjen CP:
lutning = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Varje punkt Q för generiska rektangulära koordinater (x, y) som tillhör linjen CP måste ha samma lutning:
lutning = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Med andra ord är ekvationen för linjen CP:
(y +3) / (x +2) = ¾
Ett alternativt sätt att skriva ekvationen för linjen CP är att lösa för y:
y = ¾ x - 3/2
Skaffa de rektangulära koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna y = - (1/5) x + 13/5 och linjen y = ¾ x - 3/2.
Lösning: Per definition delar skärningspunkten för de två linjerna samma rektangulära koordinater. Därför är y-koordinaterna vid skärningspunkten identiska för båda linjerna:
-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
vilket leder till följande uttryck:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
lösa summan av bråk som vi får:
19/20 x = 41/10
Lösning för x:
x = 82/19 = 4,32
För att erhålla y-skärning ersätts det erhållna x-värdet i någon av raderna:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Detta innebär att de givna linjerna skär varandra vid punkten I för koordinaterna I = (4,32, 1,74).
Skaffa ekvationen för omkretsen som passerar genom punkten R för rektangulära koordinater (3, 4) och som har sitt centrum vid koordinaternas ursprung.
Lösning: Radien R är avståndet från punkt R till koordinaternas ursprung O (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Det vill säga det är en cirkel med radie 5 centrerad vid (0,0).
Varje punkt P (x, y) på omkretsen måste ha samma avstånd 5 från centrum (0, 0) så att det kan skrivas:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Nämligen:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
För att eliminera kvadratroten är båda medlemmarna av jämställdheten kvadratiska och får:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Vad är ekvationen för omkretsen.
Detta exempel illustrerar kraften hos det rektangulära koordinatsystemet, vilket gör det möjligt att bestämma geometriska objekt, såsom omkretsen, utan att behöva använda papper, penna och kompass. Den begärda omkretsen har bestämts enbart med algebraiska metoder.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.