Andra gradens ekvationsformel, hur man löser dem, exempel, övningar

De kvadratiska eller kvadratiska ekvationer och en okänd har formen yxa^två + bx + c = 0. Där a ≠ 0, eftersom om det vore 0, skulle ekvationen omvandlas till en linjär ekvation, och koefficienterna a, b och c är reella tal.

Det okända som ska bestämmas är värdet på x. Till exempel ekvationen 3x^två - 5x + 2 = 0 är en fullständig kvadratisk ekvation.

Det finns också varianter som kallas ofullständiga andragradsekvationer, som saknar någon av termerna, förutom den för yxa^två. Här är några exempel:

x^två - 25 = 0

3x^två - 5x = 0

Al Juarismi, den berömda arabiska matematikern från antiken, beskrev i sina verk olika typer av ekvationer av första och andra graden, men bara med positiva koefficienter. Det var dock den franska matematikern Francois Viete som först introducerade bokstäver för att symbolisera kvantiteter och föreslå lösningen genom formeln beslutsam:

Detta är en allmän formel som gör det möjligt att lösa en kvadratisk ekvation, hitta dess rötter eller nollor, även om lösningarna inte är verkliga. Det finns också andra sätt att lösa dem.

Artikelindex

• 1 Hur man löser kvadratiska ekvationer?
  • 1.1 Upplösning genom factoring
  • 1.2 Grafisk metod
  • 1.3 Upplösning med vetenskaplig miniräknare
  • 1.4 Diskriminant av en kvadratisk ekvation
• 2 Exempel på enkla kvadratiska ekvationer
  • 2.1 Ekvation av formen x2 + mx + n = 0
  • 2.2 Ofullständig ekvation för formen ax2 + c = 0
  • 2.3 Ofullständig ekvation för formen ax2 + bx = 0
  • 2.4 Ekvationer med nämnaren
  • 2.5 Högre ordningens ekvationer som blir kvadratiska
• 3 enkla lösta övningar
  • 3.1 - Övning 1
  • 3.2 - Övning 2
  • 3.3 - Övning 3
• 4 Referenser

Hur man löser kvadratiska ekvationer?

Ekvationer av andra graden kan lösas med formeln ovan, och det finns också andra algebraiska procedurer som kan ge resultat i vissa ekvationer.

Vi ska lösa den ekvation som föreslås i början med formeln, en giltig metod för alla kvadratiska ekvationer med en okänd:

3x^två - 5x + 2 = 0

För att använda formeln korrekt noterar vi att:

• till är termens koefficient med x^två
• b är koefficienten för den linjära termen
• c är den oberoende termen.

Vi kommer att identifiera dem från samma ekvation:

a = 3

b = -5

c = 2

Observera att tecknet som följer med koefficienten måste beaktas. Nu ersätter vi dessa värden i formeln:

I täljaren finns symbolen ”plus - minus” ±, vilket indikerar att kvantiteten med en rot kan tas som positiv och även som negativ. En kvadratisk ekvation har högst två verkliga lösningar, och denna symbol tar hänsyn till detta.

Låt oss ringa x₁ och x_två till dessa två lösningar, då:

x₁ = (5 + 1) / 6 = 1

x_två = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Upplösning genom factoring

Vissa ekvationer av andra graden består av trinomialer som lätt kan tas med i beräkningen. I så fall är den här metoden mycket snabbare. Låt oss överväga ekvationen:

x^två + 7x - 18 = 0

Faktoriseringen har denna form:

(x +) ⋅ (x -)

De tomma utrymmena är fyllda med två siffror som vid multiplicering ger 18, och när de subtraheras ger 7. Tecknen inom parentes väljs med detta kriterium:

-I den första parentesen placeras tecknet mellan första och andra termen.

-Och i den andra parentesen är produkten av de tecken som ses.

När det gäller siffrorna görs de lätt i detta fall: de är 9 och 2. Den största placeras alltid i den första parentesen, så här:

x^två + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Läsaren kan verifiera med hjälp av den fördelande egenskapen att när man utvecklar produkten på höger sida av jämlikheten erhålls vänsterns trinom. Nu skrivs ekvationen om:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

För att jämställdheten ska kunna uppnås räcker det att en av de två faktorerna är noll. Så i den första måste du göra x₁ = -9 eller så kan den andra faktorn försvinna, i vilket fall x_två = 2. Detta är ekvationens lösningar.

Grafisk metod

Rötterna eller lösningarna i den kvadratiska ekvationen motsvarar skärningspunkten mellan parabolen y = yxa^två + bx + c med den horisontella axeln eller x-axeln. Så när vi plottar motsvarande parabel hittar vi lösningen på den kvadratiska ekvationen genom att göra y = 0.

Parabolernas skärningar med den horisontella axeln representerar ekvationens lösningar yxa^två + bx + c = 0. En parabel som bara skär den horisontella axeln vid en enda punkt har en enda rot och detta kommer alltid att vara toppunkten för parabolen.

Och slutligen, om en parabel inte skär den horisontella axeln, motsvarande ekvation yxa^två + bx + c = 0 saknar riktiga lösningar.

Att bygga en graf för hand kan vara besvärlig, men med hjälp av program som grafer online är det väldigt enkelt.

Upplösning med vetenskaplig miniräknare

Många modeller av vetenskapliga miniräknare har möjlighet att lösa kvadratiska ekvationer (och andra typer av ekvationer också). För att ta reda på det måste du kolla menyn.

När den kvadratiska ekvationen för ett okänt alternativ har valts, ber menyn att ange värdena på koefficienterna a, b och c och returnerar de verkliga lösningarna om de finns. Och det finns också modeller av vetenskapliga räknare som arbetar med komplexa siffror och erbjuder dessa lösningar.

Diskriminerande av en kvadratisk ekvation

För att ta reda på om ekvationen har verkliga lösningar eller inte, och hur många det finns, utan att behöva lösa först, definieras diskriminanten Δ som kvantiteten under kvadratroten:

A = b^två - 4ac

Enligt diskriminantens tecken är det känt hur många lösningar ekvationen har enligt detta kriterium:

-Två verkliga lösningar: Δ> 0

-En riktig lösning (eller två identiska lösningar): Δ = 0

-Ingen riktig lösning: Δ  < 0

Till exempel hur många lösningar gör den kvadratiska ekvationen -7x^två +12x + 64 = 0? Vi identifierar koefficienterna:

a = -7

b = 12

c = 64

A = b^två - 4ac = 12^två - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

Ekvationen har två lösningar. Låt oss nu se den här andra:

x^två - 6x + 9 = 0

a = 1

b = -6

c = 9

A = (-6)^två - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Detta är en ekvation med en enda lösning eller med två lika lösningar.

Exempel på enkla kvadratiska ekvationer

I början sa vi att ekvationer av andra graden skulle kunna vara fullständiga om trinomen är, och ofullständig om den linjära termen eller den oberoende termen saknades. Låt oss nu titta på några speciella typer:

Ekvation av formen x^två + mx + n = 0

I detta fall är a = 1 och formeln reduceras till:

För denna typ av ekvation, och alltid beroende på de återstående koefficienterna, kan factoring-metoden fungera bra, som vi såg i föregående avsnitt.

Ofullständig ekvation för formen ax^två + c = 0

Lösningen, om den finns, har formen:

Det finns en riktig lösning när a eller c har ett negativt tecken, men om de två termerna har samma tecken, är lösningen imaginär.

Ofullständig ekvation för formyxan^två + bx = 0

Denna ekvation löses snabbt med hjälp av factoring, eftersom x är en vanlig faktor i båda termerna. En av lösningarna är alltid x = 0, den andra finns så här:

yxa^två + bx = 0

x (ax + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b / a

Låt oss se ett exempel nedan. Sortera ut:

x^två - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Därför x₁ = 0 och x_två = 5

Ekvationer med nämnaren

Det finns olika ekvationer av en rationell typ, där det okända kan finnas både i täljaren och i nämnaren, eller till och med bara i den senare, och som med hjälp av algebraiska manipulationer reduceras till kvadratiska ekvationer.

Sättet att lösa dem är att multiplicera båda sidor av jämställdheten med nämnarnas minst vanliga multipel eller m.m. och sedan ordna om termerna. Till exempel:

Ekvationer av högre ordning som blir kvadratiska

Det finns högre ordningsekvationer som kan lösas som om de var kvadratiska med hjälp av en förändring av variabeln, till exempel denna ekvation bi-kvadrat:

x⁴ - 10x^två + 9 = 0

Låt x^två = u, då blir ekvationen:

eller^två - 10u + 9 = 0

Denna ekvation löses snabbt genom att ta en faktor, hitta två nummer som multiplicerats med 9 och lagt till 10. Dessa siffror är 9 och 1:

(u - 9). (u - 1) = 0

Därför är lösningarna i denna ekvation u₁ = 9 och u_två = 1. Nu returnerar vi ändringen:

x^två = 9 → x₁ = 3 och x_två = -3

x^två = 1 → x₁ = 1 och x_två = -1

Den ursprungliga ekvationen är av ordning 4, därför har den minst fyra rötter. Den i exemplet är -3, -1, 1 och 3.

Enkla lösta övningar

- Övning 1

Lös följande kvadratiska ekvation med det okända i nämnaren:

Den minst vanliga multipeln är x (x + 2) och du måste multiplicera alla termer:

Motsvarande uttryck kvarstår:

5x (x + 2) - x = x (x + 2)

Vi utvecklar:

5x^två + 10x - x = x^två + 2x

Alla villkor transponeras till vänster om jämställdheten och till höger lämnar vi 0:

5x^två + 10x - x - x^två - 2x = 0

4x^två - 7x = 0

Vi faktor, eftersom det är en ofullständig ekvation:

x (4x - 7) = 0

En av lösningarna är x = 0, den andra är:

4x = 7

x = 7/4

- Övning 2

Hitta lösningen på kvadratiska ekvationer:

a) -7x^två +12x + 64 = 0

b) x^två - 6x + 9 = 0

Lösning till

Från denna ekvation vet vi determinanten Δ, eftersom den beräknades som ett exempel tidigare, så vi kommer att dra nytta av den och uttrycka lösningsformeln så här:

x₁ = (-12 + 44) / -14 = - (32/14) = - (16/7)

x_två = (-12 - 44) / -14 = 4

Lösning b

Det fyrkantiga trinomialet x^två - 6x + 9 är faktor, eftersom det är en perfekt fyrkantig trinomial:

x^två - 6x + 9 = (x-3)^två = 0

Lösningen på denna ekvation är x = 3.

- Övning 3

Vad är ekvationen vars lösningar är 3 och 4?

Lösning

Det fakturerade uttrycket är:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Tillämpa distribution egendom:

x^två - 4x -3x + 12 = 0

De två centrala termerna är likartade och kan reduceras och lämnar:

x^två - 7x + 12 = 0

Referenser

1. Baldor. 1977. Elementär algebra. Venezuelas kulturutgåvor.
2. Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volym 2.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematik för Calculus. 5: e. Utgåva. Cengage Learning.
5. Zapata, F. 4 sätt att lösa en kvadratisk ekvation. Återställd från: francesphysics.blogspot.com.
6. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. Mcgraw hill.