A vektor utrymme är en icke-tom uppsättning V= eller, v, w,..., vars element är vektorer. Några viktiga operationer utförs med dem, bland vilka följande sticker ut:
- Summa mellan två vektorer u + v vilka resultat z, som tillhör uppsättningen V.
- Multiplikation av ett reellt tal α med en vektor v: a v vad ger en annan vektor Y som tillhör V.
För att beteckna en vektor använder vi fetstil (v är en vektor) och för skalar eller siffror är grekiska bokstäver (α är ett tal).
Artikelindex
För att ett vektorutrymme ska ges måste följande åtta axiomer vara uppfyllda:
1-omkopplingsbar: eller +v = v +eller
2-transitivitet: (eller + v) + w = eller + ( v + w)
3-existens av nollvektorn 0 Så att 0 + v = v
4-Existens av motsatsen: motsatsen till v det är (-v) , som v + (-v) = 0
5-Distributivitet av produkten med avseende på vektorsumman: a ( eller + v ) = aeller +av
6-Distributivitet av produkten med avseende på den skalära summan: (a + p)v = αv +βv
7-Associativitet av skalärprodukten: a (β v) = (aα)v
8-numret 1 är det neutrala elementet sedan: 1v = v
Vektorer i (R²) -planet är ett exempel på ett vektorutrymme. En vektor i planet är ett geometriskt objekt som har både storlek och riktning. Det representeras av ett orienterat segment som tillhör nämnda plan och med en storlek som är proportionell mot dess storlek.
Summan av två vektorer i planet kan definieras som den geometriska översättningsoperationen för den andra vektorn efter den första. Resultatet av summan är det orienterade segmentet som börjar från ursprunget till det första och når toppen av det andra.
I figuren kan man se att summan i R² är kommutativ.
Produkten av ett tal α och en vektor definieras också. Om talet är positivt behålls riktningen på den ursprungliga vektorn och storleken är α gånger den ursprungliga vektorn. Om talet är negativt är riktningen motsatt och storleken på den resulterande vektorn är det absoluta värdet på talet.
Vektorn motsatt vilken vektor som helst v det är -v = (- 1) v.
Nollvektorn är en punkt i R²-planet, och antalet noll gånger en vektor resulterar i nollvektorn.
Allt sagt illustreras i figur 2.
Uppsättning P av alla polynomer med en grad som är mindre än eller lika med två, inklusive grad noll, bildar en uppsättning som uppfyller alla axiomer i ett vektorutrymme.
Låt polynomet P (x) = a x² + b x + c och Q (x) = d x² + e x + f
Summan av två polynom definieras: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) x + (c + f)
Summan av polynom som tillhör uppsättningen P är kommutativ och övergående.
Nollpolynomet som tillhör uppsättningen P är den som har alla sina koefficienter lika med noll:
0 (x) = 0 x² + 0 x + 0
Summan av en skalär α av ett polynom definieras som: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ b x + α ∙ c
Det motsatta polynomet för P (x) är -P (x) = (-1) P (x).
Av allt ovan följer att uppsättningen P av alla polynomer med en grad som är mindre än eller lika med två, är ett vektorutrymme.
Uppsättning M av alla matriser av m rader x n kolumner vars element är reella tal bildar ett reellt vektorutrymme, med avseende på operationerna för att addera matriser och produkt av ett tal med en matris.
Uppsättningen F för kontinuerliga funktioner för verklig variabel, bildar ett vektorrymd, eftersom det är möjligt att definiera summan av två funktioner, multiplicering av en skalär med en funktion, nollfunktionen och den symmetriska funktionen. De uppfyller också axiomerna som kännetecknar ett vektorrymd.
Basen för ett vektorutrymme definieras som en uppsättning linjärt oberoende vektorer så att från en linjär kombination av dem kan vilken vektor som helst av det vektorutrymmet genereras.
Linjär kombination av två eller flera vektorer består i att multiplicera vektorerna med någon skalär och sedan lägga till dem vektorellt.
Till exempel, i vektorutrymmet för vektorer i tre dimensioner bildade av R3 används den kanoniska basen som definieras av enhetsvektorerna (av storlek 1) i, j, k.
Var i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dessa är de kartesiska eller kanoniska vektorerna.
Vilken vektor som helst V som tillhör R³ skrivs som V = a i + b j + c k, vilket är en linjär kombination av basvektorerna i, j, k. Skalar eller siffror a, b, c är kända som de kartesiska komponenterna i V.
Det sägs också att basvektorerna i ett vektorutrymme bildar en generatoruppsättning av vektorutrymmet.
Dimensionen för ett vektorutrymme är huvudnumret för en vektorbas för det utrymmet; det vill säga antalet vektorer som utgör basen.
Denna kardinal är det maximala antalet linjärt oberoende vektorer i det vektorutrymmet, och samtidigt det minsta antalet vektorer som bildar en generatoruppsättning av det utrymmet.
Baserna i ett vektorutrymme är inte unika, men alla baserna i samma vektorutrymme har samma dimension.
Ett vektordelrum S för ett vektorutrymme V är en delmängd av V där samma operationer definieras som i V och uppfyller alla vektorutrymmeaxiomer. Därför kommer delutrymmet S också att vara ett vektorrymd.
Ett exempel på ett vektors delområde är vektorerna som tillhör XY-planet. Detta delutrymme är en delmängd av ett vektorrymd med dimensionalitet större än uppsättningen vektorer som tillhör det tredimensionella utrymmet XYZ.
Ett annat exempel på ett vektors delutrymme S1 av vektorutrymmet S som bildas av alla 2 × 2-matriser med verkliga element definieras nedan:
Å andra sidan bildar S2 som definieras nedan, även om det är en delmängd av S, inte ett vektordelrum:
Låt vektorerna vara V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) och V3= (0, 0, 3) i R ^.
a) Visa att de är linjärt oberoende.
b) Visa att de bildar en bas i R³, eftersom vilken trippel som helst (x, y, z) kan skrivas som en linjär kombination av V1, V2, V3.
c) Hitta komponenterna i trippeln V = (-3,5,4) vid basen V1, V2, V3.
Kriteriet för att visa linjär oberoende består i att fastställa följande uppsättning ekvationer i α, β och γ
α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)
Om den enda lösningen på detta system är α = β = γ = 0 är vektorerna linjärt oberoende, annars är de inte.
För att erhålla värdena på α, β och γ föreslår vi följande ekvationssystem:
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0
Den första leder till α = 0, den andra α = -2 ∙ β men eftersom α = 0 då β = 0. Den tredje ekvationen innebär att γ = (- 1/3) β, men eftersom β = 0 då γ = 0.
Man drar slutsatsen att det är en uppsättning linjärt oberoende vektorer i R³ .
Låt oss nu skriva trippeln (x, y, z) som en linjär kombination av V1, V2, V3.
(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z
Var har du:
a = x
a + 2 p = y
P + 3 y = z
Den första indikerar α = x, den andra β = (y-x) / 2 och den tredje γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. På detta sätt har vi hittat generatorerna för α, β och γ för vilken triplett av R3 som helst
Låt oss gå vidare för att hitta komponenterna i trippeln V = (-3,5,4) vid basen V1, V2, V3.
Vi ersätter generatorerna med motsvarande värden i uttrycken som finns ovan.
I det här fallet har vi: α = -3; P = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0
Det är:
(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)
Senast:
V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3
Vi drar slutsatsen att V1, V2, V3 bilda en grund i vektorrummet R³ för dimension 3.
Uttryck polynomet P (t) = t² + 4t -3 som en linjär kombination av P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t och P3 (t) = t + 3.
P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)
där siffrorna x, y, z ska bestämmas.
Multiplicering och gruppering av termer med samma grad i t ger:
t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)
Vilket leder oss till följande ekvationssystem:
x + 2y = 1
-2x -3y + z = 4
5x + 3z = -3
Lösningarna för detta ekvationssystem är:
x = -3, y = 2, z = 4.
Det är:
P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)
Visa att vektorerna v1= (1, 0, -1, 2); v2= (1, 1, 0, 1) och v3= (2, 1, -1, 1) av R ^ är linjärt oberoende.
Vi kombinerar linjärt de tre vektorerna v1, v2, v3 och vi kräver att kombinationen lägger till null-elementet i R⁴
till v1 + b v2 + c v3 = 0
Nämligen,
a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)
Detta leder oss till följande ekvationssystem:
a + b + 2 c = 0
b + c = 0
-a - c = 0
2 a + b + c = 0
Att subtrahera det första och det fjärde har vi: -a + c = 0 vilket innebär a = c.
Men om vi tittar på den tredje ekvationen har vi det a = -c. Det enda sättet som a = c = (- c) håller är att c är 0 och därför blir a också 0.
a = c = 0
Om vi ersätter detta resultat i den första ekvationen, drar vi slutsatsen att b = 0.
Slutligen är a = b = c = 0, så att man kan dra slutsatsen att vektorerna v1, v2 och v3 är linjärt oberoende.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.