De homothecy Det är en geometrisk förändring i planet där avstånden multipliceras med en gemensam faktor med utgångspunkt från en fast punkt som kallas centrum (O). På detta sätt motsvarar varje punkt P en annan punkt P 'produkt av transformationen, och dessa är i linje med punkt O.
Därefter handlar homoteky om en överensstämmelse mellan två geometriska figurer, där de transformerade punkterna kallas homotetiska, och dessa är inriktade med en fast punkt och med segment som är parallella med varandra..
Artikelindex
Homothecy är en transformation som inte har en kongruent bild, för från en figur kommer en eller flera figurer av större eller mindre storlek än den ursprungliga figuren att erhållas; det vill säga homothecy förvandlar en polygon till en annan liknande.
För att homoteket ska kunna uppfyllas måste punkt till punkt och linje till linje överensstämma, så att paren av homologa punkter är i linje med en tredje fast punkt, som är centrum för homoten.
På samma sätt måste parparna som går med dem vara parallella. Förhållandet mellan sådana segment är en konstant som kallas homothecy ratio (k); på ett sådant sätt att homoteki kan definieras som:
För att genomföra denna typ av transformation, börjar vi med att välja en godtycklig punkt, som kommer att vara centrum för homoteket.
Från denna punkt ritas linjesegment för varje toppunkt i figuren som ska transformeras. Skalan i vilken reproduktionen av den nya figuren görs ges av förhållandet homoteki (k).
En av de huvudsakliga egenskaperna hos homoteki är att av den homotiska orsaken (k) är alla homotetiska figurer lika. Andra anmärkningsvärda egenskaper inkluderar följande:
- Centret för homotecia (O) är den enda dubbelpunkten och den blir själv; det vill säga det varierar inte.
- Linjerna som passerar genom centrum omvandlas till sig själva (de är dubbla), men punkterna som komponerar det är inte dubbla.
- Linjerna som inte passerar genom mitten blir parallella linjer; på detta sätt förblir homothecy-vinklarna desamma.
- Bilden av ett segment med en homoteki av centrum O och förhållandet k, är ett segment parallellt med detta och har k gånger dess längd. Till exempel, som kan ses i följande bild, kommer ett segment AB efter homoteky att resultera i ett annat segment A'B ', på ett sådant sätt att AB kommer att vara parallellt med A'B' och k kommer att vara:
- Homotetiska vinklar är kongruenta; de har samma mått. Därför är bilden av en vinkel en vinkel som har samma amplitud.
Å andra sidan varierar homothecy beroende på värdet på dess förhållande (k), och följande fall kan uppstå:
- Om konstanten k = 1 är alla punkter fixerade eftersom de transformerar sig själva. Således sammanfaller den homotiska figuren med den ursprungliga och transformationen kommer att kallas identitetsfunktionen.
- Om k ≠ 1 är den enda fasta punkten centrum för homotetiken (O).
- Om k = -1 blir homothecy en central symmetri (C); det vill säga en rotation kommer att ske runt C, i en vinkel på 180eller.
- Om k> 1 kommer storleken på den transformerade figuren att vara större än originalets storlek.
- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Om k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
Homothecy kan också klassificeras i två typer, beroende på värdet på dess förhållande (k):
Det inträffar om konstanten k> 0; det vill säga de homotiska punkterna är på samma sida med avseende på centrum:
Proportionalitetsfaktorn eller likhetsförhållandet mellan de direkta homotetiska siffrorna kommer alltid att vara positiva.
Det inträffar om konstanten k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
Proportionalitetsfaktorn eller likhetsförhållandet mellan de inversa homotetiska siffrorna kommer alltid att vara negativ.
När flera rörelser successivt genomförs tills man erhåller en figur som är lika med originalet, sker en sammansättning av rörelser. Sammansättningen av flera satser är också en rörelse.
Sammansättningen mellan två homothecies resulterar i en ny homothecy; det vill säga det finns en produkt av homotetier i vilken centrum kommer att vara i linje med mitten av de två ursprungliga transformationerna, och förhållandet (k) är produkten av de två förhållandena.
Således i sammansättningen av två homotekier H1(ELLER1, k1) och Htvå(ELLERtvå, ktvå), multipliceringen av deras förhållanden: k1 x ktvå = 1 kommer att resultera i en homoteky av förhållandet k3 = K1 x ktvå. Centret för denna nya homoteki (O3) kommer att finnas på linjen O1 ELLERtvå.
Homothecia motsvarar en platt och oåterkallelig förändring; om två homotetiker tillämpas som har samma centrum och förhållande men med ett annat tecken, kommer den ursprungliga figuren att erhållas.
Tillämpa en homoteki på den givna polygonen med centrum (O), som ligger 5 cm från punkt A och vars förhållande är k = 0,7.
Varje punkt väljs som centrum för homoteket, och från denna punkt dras strålar genom figurens hörn:
Vi har att avståndet från centrum (O) till punkt A är OA = 5; Med detta kan avståndet för en av de homotiska punkterna (OA ') bestämmas, även om man vet att k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Processen kan göras för varje toppunkt, eller den homotetiska polygonen kan också dras ihåg att de två polygonerna har parallella sidor:
Slutligen ser transformationen ut så här:
Tillämpa en homoteki på den givna polygonen med centrum (O), som ligger 8,5 cm från punkt C och vars y-förhållande k = -2.
Avståndet från centrum (O) till punkt C är OC = 8,5; Med dessa data är det möjligt att bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OC '), även om man vet att k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Efter att ha ritat segmenten av hörnpunkterna på den transformerade polygonen, är de initiala punkterna och deras homotetik placerade i motsatta ändar i förhållande till mitten:
Ingen har kommenterat den här artikeln än.